北京工业大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、（15 分）判别函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数列的逐点极限函数
对于固定的 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = n x (1-x)^n$ 的极限。
- 若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$。
- 若 $x=1$，则 $(1-x)=0$，$f_n(1)=0$，极限为 $0$。
- 若 $0
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n x (1-x)^n = 0,\quad x\in[0,1]$
提示：注意端点 $x=0$ 和 $x=1$ 处直接代入计算，中间点利用指数衰减压制多项式增长的性质。
步骤 2/5
目标：建立一致收敛的判别准则
函数列 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0| = \sup_{x\in[0,1]} n x (1-x)^n \to 0$（$n\to\infty$）。因此需要计算该上确界（最大值）并考察其极限。
公式：$\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} n x (1-x)^n$
提示：一致收敛要求所有 $x$ 的误差同时趋于 $0$，不能只考虑逐点收敛。
步骤 3/5
目标：求函数 $g_n(x)=n x (1-x)^n$ 在 $[0,1]$ 上的最大值
对 $g_n(x)$ 求导：
$g_n'(x) = n(1-x)^n + n x \cdot n (1-x)^{n-1}(-1) = n(1-x)^{n-1}[(1-x) - n x]$。
令 $g_n'(x)=0$，得 $(1-x) - n x = 0$，解得 $x = \frac{1}{n+1}$。
由于 $g_n(0)=0$，$g_n(1)=0$，且 $g_n(x)>0$ 当 $0
公式：$\displaystyle x_{\max} = \frac{1}{n+1}$
提示：求导时注意复合函数求导法则，不要遗漏负号。
步骤 4/5
目标：计算最大值并分析其极限
最大值 $M_n = g_n\left(\frac{1}{n+1}\right) = n \cdot \frac{1}{n+1} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{n}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$。
改写为 $M_n = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$。
当 $n\to\infty$，$\frac{n}{n+1}\to 1$，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，故 $M_n \to \frac{1}{e} \neq 0$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} n x (1-x)^n = \frac{1}{e}$
提示：注意 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的变形，以及重要极限 $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0|$ 的极限为 $\frac{1}{e} \neq 0$，不满足一致收敛的条件，因此函数列 $\{n x (1-x)^n\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
公式：无
提示：一致收敛要求上确界趋于 $0$，这里趋于非零常数，故不一致收敛。
步骤 6/6
目标：判断一致收敛性并得出结论
由于 $\lim_{n\to\infty} M_n = \frac{1}{e} \neq 0$，不满足一致收敛到 $0$ 的条件，因此函数列 $\{n x (1-x)^n\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0| = \frac{1}{e} \neq 0$$
提示：逐点收敛到0但最大值不趋于0，是典型的不一致收敛例子。
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