北京工业大学 2025年数学分析第7题

原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n+1}$，提取公因子 $x$ 得 $x \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$。由于 $x$ 不影响收敛性，只需考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 的收敛域。

对 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 使用比值审敛法：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)^2 x^{n+1}}{n^2 x^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 |x| = |x|$。当 $|x| < 1$ 时绝对收敛，$|x| > 1$ 时发散。边界 $x = \pm 1$ 时，通项 $n^2$ 不趋于 $0$，级数发散。故收敛半径为 $1$，收敛区间为 $(-1, 1)$。原级数提取 $x$ 不影响收敛域，因此收敛域为 $(-1, 1)$。

已知几何级数公式：$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$，$|x| < 1$。逐项求导得：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$。两边乘以 $x$ 得：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$。

对 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$ 再次求导：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right)$。计算导数：$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{(1-x)^2 - x \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x)(1-x+2x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$。

由 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$，两边乘以 $x^2$ 得：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n+1} = x^2 \cdot \frac{1+x}{(1-x)^3} = \frac{x^2(1+x)}{(1-x)^3}$。这就是原级数的和函数 $S(x)$，定义域为 $x \in (-1, 1)$。

原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n+1} = x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = x \cdot \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} = \frac{x^2 (1+x)}{(1-x)^3}$，收敛域为 $(-1,1)$。