华中师范大学 2019年数学分析第1题
📝 题目
1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$
（1）求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}}
$$
（2）求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) .
$$
（3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数．
（4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：计算第（1）题极限：化简分子中的tan(tan x)-tan x
当$x\to 0$时，$\tan x \sim x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$。令$u=\tan x$，则$u\to 0$，有$\tan u - u \sim \frac{u^3}{3}$。代入$u=\tan x$得：$\tan(\tan x)-\tan x \sim \frac{(\tan x)^3}{3} \sim \frac{x^3}{3}$。
公式：\tan u - u \sim \frac{u^3}{3} \quad (u\to 0)
提示：注意使用等价无穷小替换时，要确保替换后的表达式与分母同阶。
步骤 2/10
目标：计算第（1）题极限：代入分子整体并求极限
分子为$[\tan(\tan x)-\tan x]\cdot \tan x \sim \frac{x^3}{3} \cdot x = \frac{x^4}{3}$。因此极限为：$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^4}{3}}{x^4}=\frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{[\tan(\tan x)-\tan x]\tan x}{x^4}=\frac{1}{3}
提示：分子中两个因子分别用等价无穷小替换后相乘，注意精度要足够。
步骤 3/10
目标：计算第（2）题极限：将和式转化为定积分形式
第$k$项为$\frac{\ln(2+\frac{k}{n})}{n+\frac{1}{k}}$，当$n\to\infty$时，分母$n+\frac{1}{k}\sim n$，故和式近似为$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln(2+\frac{k}{n})$。由黎曼和定义，此和趋于$\int_0^1\ln(2+x)dx$。
公式：\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln\left(2+\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1\ln(2+x)dx
提示：分母中$1/k$项对极限无影响，因为其误差为$O(1/n^2)$。
步骤 4/10
目标：计算第（2）题极限：计算定积分并得出结果
计算积分：$\int_0^1\ln(2+x)dx = \left[(x+2)\ln(2+x)-x\right]_0^1 = (3\ln3-1) - (2\ln2-0) = \ln\frac{27}{4}-1$。
公式：\int_0^1\ln(2+x)dx = \ln\frac{27}{4}-1
提示：注意积分公式$\int\ln(ax+b)dx = \frac{ax+b}{a}\ln(ax+b)-x + C$。
步骤 5/10
目标：计算第（3）题：化简函数表达式
利用公式$\arctan a - \arctan b = \arctan\frac{a-b}{1+ab}$，取$a=1,b=2x$，得$\arctan 1 - \arctan(2x) = \arctan\frac{1-2x}{1+2x}$，因此$f(x)=\frac{\pi}{4}-\arctan(2x)$。
公式：\arctan\frac{1-2x}{1+2x} = \frac{\pi}{4} - \arctan(2x)
提示：注意$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，且$|2x|<1$时公式成立。
步骤 6/10
目标：计算第（3）题：展开为幂级数
已知$\arctan t = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{2n+1}$，$|t|<1$。令$t=2x$，得$\arctan(2x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1}$。故$f(x)=\frac{\pi}{4}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n2^{2n+1}}{2n+1}x^{2n+1}$，收敛区间$|x|<\frac{1}{2}$。
公式：f(x)=\frac{\pi}{4}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n2^{2n+1}}{2n+1}x^{2n+1}
提示：注意展开式中只有奇次项，且系数包含$2^{2n+1}$。
步骤 7/10
目标：计算第（4）题：求隐函数导数并求驻点
方程$3x-x^3+2=y^3+3y$两边对$x$求导：$3-3x^2=(3y^2+3)y'$，解得$y'=\frac{1-x^2}{y^2+1}$。令$y'=0$得$x=\pm1$。代入原方程：$x=1$时$y=1$；$x=-1$时$y=0$。
公式：y'=\frac{1-x^2}{y^2+1}
提示：隐函数求导时，$y$视为$x$的函数，注意对$y^3$求导得$3y^2y'$。
步骤 8/10
目标：计算第（4）题：判断极值并给出结果
对$y'$再求导：$y''=\frac{-2x(y^2+1)-(1-x^2)\cdot2yy'}{(y^2+1)^2}$。在$(1,1)$处，$y'=0$，$y''=-1<0$，为极大值；在$(-1,0)$处，$y'=0$，$y''=2>0$，为极小值。故极大值$y=1$（$x=1$），极小值$y=0$（$x=-1$）。
公式：y''(1,1)=-1,\quad y''(-1,0)=2
提示：二阶导判断极值时，注意代入$y'=0$简化计算。
步骤 9/10
目标：计算第（5）题：确定傅里叶系数a0
$f(x)=|\sin x|$是偶函数，周期$2\pi$，故$b_n=0$。$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x dx=\frac{2}{\pi}\cdot2=\frac{4}{\pi}$。
公式：a_0=\frac{4}{\pi}
提示：利用偶函数性质简化积分区间。
步骤 10/10
目标：计算第（5）题：计算傅里叶系数an
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\cos(nx)dx$。利用积化和差：$\sin x\cos(nx)=\frac{1}{2}[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)]$。当$n\neq1$时，$\int_0^{\pi}\sin(kx)dx=\frac{1-(-1)^k}{k}$，计算得$a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}$；当$n=1$时，直接积分得$a_1=0$。
公式：a_n=\begin{cases}0,&n=1\\\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1+(-1)^n}{1-n^2},&n\neq1\end{cases}
提示：注意$n=1$时积分需单独处理，因为分母出现$n-1=0$。
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