📝 华中师范大学 2019年数学分析真题

1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$
（1）求极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}}
$$

（2）求极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) .
$$

（3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数．
（4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。

2．（15＇）讨论数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^{p}}$ 的敛散性，其中 $p$ 是实常数。

3．（15＇）设 $\displaystyle F(x, y, z)=x^{2}+\cos (x y)+y z+z^{2}+x-1$ ．
（i）证明：方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在 $\displaystyle (0,1,-1)$ 的某邻域内能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（ii）求（i）中隐函数在 $\displaystyle (0,1)$ 处的全微分 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ ．
（iii）求曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在点 $\displaystyle (0,1,-1)$ 处的切平面方程和法线方程．

4．（15＇）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可微，且满足以下条件：
（i）$\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ；
（ii）$\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \forall x \in[a, b]$ ．
（1）证明：方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有唯一的根 $\displaystyle \xi$ ；
（2）取 $\displaystyle x_{0}=b$ ，

$$
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}
$$

证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle \xi$ ，并计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．

5．（15＇）设 $\displaystyle \varphi(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（1）求 $\displaystyle \varphi(\alpha)$ 的定义域
（2）证明：$\displaystyle \varphi(\alpha)$ 在定义域内连续。

6．（ $\displaystyle \left.15^{\prime}\right)$ 求 $\displaystyle f(x, y)=x^{y}$ 在点 $\displaystyle (1,4)$ 处的带有余项 $\displaystyle o\left(\rho^{2}\right)$ 的泰勒公式，其中 $\displaystyle \rho=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-4)^{2}}$ ，并用它计算 $\displaystyle (1.08)^{3.96}$ 的近似值．

7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记

$$
I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y
$$

（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．

8．（10＇）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且有 $\displaystyle 0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明：

$$
1 \leq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leq \frac{(M+m)^{2}}{4 m M}
$$