华中师范大学 2019年数学分析第2题

首先考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\cos n}{n^p}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n^p}$。由于 $|\cos n| \le 1$，有 $\frac{|\cos n|}{n^p} \le \frac{1}{n^p}$。当 $p>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛，由比较判别法知原级数绝对收敛。当 $p\le 1$ 时，此上界不能直接判断发散，需要进一步分析。

当 $p \le 0$ 时，通项 $\frac{\cos n}{n^p}$ 的绝对值至少为 $|\cos n| \cdot n^{-p}$。若 $p=0$，通项为 $\cos n$，不趋于零，级数发散；若 $p<0$，$n^{-p} \to \infty$，通项绝对值无界，更不趋于零，故级数发散。

令 $a_n = \cos n$，$b_n = \frac{1}{n^p}$。首先，$\sum_{n=1}^N \cos n$ 的部分和有界：由三角恒等式 $\sum_{n=1}^N \cos n = \frac{\sin(N+\frac12)-\sin\frac12}{2\sin\frac12}$，其绝对值不超过 $\frac{1}{|\sin(1/2)|}$。其次，当 $p>0$ 时，$b_n = 1/n^p$ 单调递减趋于 0。由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum a_n b_n$ 收敛。

考虑 $|\cos n| \ge \cos^2 n = \frac{1+\cos 2n}{2}$，则 $\sum \frac{|\cos n|}{n^p} \ge \frac12 \sum \frac{1}{n^p} + \frac12 \sum \frac{\cos 2n}{n^p}$。当 $0

公式：\frac{|\cos n|}{n^p} \ge \frac{1}{2n^p} + \frac{\cos 2n}{2n^p}

提示：利用 $\cos^2 n$ 放缩时，注意 $\sum \frac{\cos 2n}{n^p}$ 收敛，发散部分来自 $\sum \frac{1}{n^p}$。