华中师范大学 2019年数学分析第3题
📝 题目
3．（15＇）设 $\displaystyle F(x, y, z)=x^{2}+\cos (x y)+y z+z^{2}+x-1$ ．
（i）证明：方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在 $\displaystyle (0,1,-1)$ 的某邻域内能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（ii）求（i）中隐函数在 $\displaystyle (0,1)$ 处的全微分 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ ．
（iii）求曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在点 $\displaystyle (0,1,-1)$ 处的切平面方程和法线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证点满足方程并计算偏导数 F_z
首先验证点 $(0,1,-1)$ 是否满足方程 $F(x,y,z)=0$。代入得 $0^2 + \cos(0) + 1\cdot(-1) + (-1)^2 + 0 - 1 = 0 + 1 - 1 + 1 + 0 - 1 = 0$，满足。然后计算 $F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = y + 2z$，在点 $(0,1,-1)$ 处 $F_z = 1 + 2\cdot(-1) = -1 \neq 0$。
公式：F_z = y + 2z, \quad F_z(0,1,-1) = -1
提示：注意验证点是否在曲面上是隐函数定理的前提条件，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：应用隐函数定理证明存在隐函数
由隐函数定理，若 $F$ 在点 $(0,1,-1)$ 的某邻域内连续可微，且 $F_z(0,1,-1) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在该点邻域内唯一确定一个连续可微的隐函数 $z = z(x,y)$，满足 $z(0,1) = -1$。证毕。
公式：\text{隐函数定理条件: } F_z \neq 0
提示：隐函数定理要求 $F$ 连续可微，本题中 $F$ 由初等函数复合而成，满足条件。
步骤 3/7
目标：计算偏导数 F_x 和 F_y 在点处的值
计算 $F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x - y\sin(xy) + 1$，代入 $(0,1,-1)$ 得 $F_x = 0 - 1\cdot \sin 0 + 1 = 1$。计算 $F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = -x\sin(xy) + z$，代入得 $F_y = 0\cdot \sin 0 + (-1) = -1$。
公式：F_x = 2x - y\sin(xy) + 1, \quad F_y = -x\sin(xy) + z
提示：求偏导时注意 $\cos(xy)$ 对 $x$ 和 $y$ 的导数要用链式法则。
步骤 4/7
目标：利用隐函数微分公式求全微分
隐函数全微分公式为 $\mathrm{d}z = -\frac{F_x}{F_z}\mathrm{d}x - \frac{F_y}{F_z}\mathrm{d}y$。代入已求值：$F_x=1, F_y=-1, F_z=-1$，得 $\mathrm{d}z = -\frac{1}{-1}\mathrm{d}x - \frac{-1}{-1}\mathrm{d}y = \mathrm{d}x - \mathrm{d}y$。
公式：\left.\mathrm{d}z\right|_{(0,1)} = \mathrm{d}x - \mathrm{d}y
提示：注意公式中的负号，不要遗漏；代入数值时小心符号。
步骤 5/7
目标：求曲面在点处的法向量
曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的法向量为梯度 $\nabla F = (F_x, F_y, F_z)$。代入已求值得到 $\nabla F(0,1,-1) = (1, -1, -1)$。
公式：\nabla F(0,1,-1) = (1, -1, -1)
提示：法向量就是梯度向量，注意顺序为 $(F_x, F_y, F_z)$。
步骤 6/7
目标：写出切平面方程
切平面方程由法向量 $(1,-1,-1)$ 和点 $(0,1,-1)$ 确定：$1\cdot(x-0) + (-1)\cdot(y-1) + (-1)\cdot(z+1) = 0$。化简得 $x - (y-1) - (z+1) = 0$，即 $x - y + 1 - z - 1 = 0$，最终为 $x - y - z = 0$。
公式：x - y - z = 0
提示：化简时注意括号展开和合并常数项，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：写出法线方程
法线方向向量为 $(1,-1,-1)$，过点 $(0,1,-1)$，因此对称式方程为 $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{-1}$。也可写为参数形式 $x = t, y = 1 - t, z = -1 - t$。
公式：\frac{x}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{-1}
提示：法线方程的分母是法向量的分量，注意不要写反符号。
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