华中师范大学 2019年数学分析第7题
📝 题目
7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记
$$
I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别被积表达式并设出P和Q
设曲线积分中的被积表达式为 $P\,dx + Q\,dy$，其中 $P(x,y) = \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right]$，$Q(x,y) = \frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right]$。由于曲线在上半平面 $(y>0)$，分母不为零。
公式：P = \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right],\quad Q = \frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right]
提示：注意将P和Q化简为更易求导的形式：$P = \frac{1}{y} + y f(xy)$，$Q = x f(xy) - \frac{x}{y^2}$。
步骤 2/7
目标：计算P对y的偏导数
对 $P = \frac{1}{y} + y f(xy)$ 关于 $y$ 求偏导：$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + y \cdot f'(xy) \cdot x = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + x y f'(xy)$。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + x y f'(xy)
提示：求导时注意链式法则：$\frac{\partial}{\partial y} f(xy) = f'(xy) \cdot x$。
步骤 3/7
目标：计算Q对x的偏导数
对 $Q = x f(xy) - \frac{x}{y^2}$ 关于 $x$ 求偏导：$\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x \cdot f'(xy) \cdot y - \frac{1}{y^2} = f(xy) + x y f'(xy) - \frac{1}{y^2}$。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x y f'(xy) - \frac{1}{y^2}
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2}$。
步骤 4/7
目标：比较偏导数并证明与路径无关
比较 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 的结果，发现两者相等：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。由于 $f$ 有一阶连续导数，故 $P$ 和 $Q$ 的偏导数连续，因此曲线积分在上半平面内与路径无关。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
提示：这是曲线积分与路径无关的充要条件，需确保定义域是单连通区域（上半平面是单连通的）。
步骤 5/7
目标：寻找原函数F(x,y)（第一部分）
由于积分与路径无关，可设原函数 $F(x,y)$ 满足 $dF = P dx + Q dy$。先对 $x$ 积分 $P$：$F(x,y) = \int \left( \frac{1}{y} + y f(xy) \right) dx = \frac{x}{y} + \int y f(xy) dx$。令 $u = xy$，则 $dx = du/y$，于是 $\int y f(xy) dx = \int f(u) du$，记 $F_1(u) = \int f(u) du$，得 $F(x,y) = \frac{x}{y} + F_1(xy) + C(y)$。
公式：F(x,y) = \frac{x}{y} + \int^{xy} f(t) dt + C(y)
提示：积分常数 $C(y)$ 是 $y$ 的函数，需通过 $Q$ 确定。
步骤 6/7
目标：利用Q确定C(y)并得到原函数
对 $F$ 关于 $y$ 求偏导：$\frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} + F_1'(xy) \cdot x + C'(y) = -\frac{x}{y^2} + x f(xy) + C'(y)$。令其等于 $Q = x f(xy) - \frac{x}{y^2}$，得 $C'(y) = 0$，故 $C(y)$ 为常数，可取 $0$。因此原函数为 $F(x,y) = \frac{x}{y} + \int^{xy} f(t) dt$。
公式：F(x,y) = \frac{x}{y} + \int^{xy} f(t) dt
提示：积分下限可任取，但通常取为0或常数，这里用变上限积分表示。
步骤 7/7
目标：利用原函数计算积分值并代入条件
积分与路径无关，故 $I = F(c,d) - F(a,b) = \left[ \frac{c}{d} + \int^{cd} f(t) dt \right] - \left[ \frac{a}{b} + \int^{ab} f(t) dt \right]$。由条件 $ab = cd$，两个积分项相消，得 $I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$。
公式：I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}
提示：注意条件 $ab = cd$ 是积分相消的关键，否则结果会包含积分项。
步骤 8/8
目标：利用势函数计算 $I$ 并代入条件
由势函数性质，$I = F(c,d) - F(a,b) = \left( \frac{c}{d} + F_1(cd) \right) - \left( \frac{a}{b} + F_1(ab) \right)$。
已知条件 $ab = cd$，所以 $F_1(cd) = F_1(ab)$，两项抵消，得 $I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$。
公式：I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}
提示：条件 $ab=cd$ 是关键，它使得含 $f$ 的项消去，结果简洁。
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