华中师范大学 2019年数学分析第8题
📝 题目
8．（10＇）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且有 $\displaystyle 0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明：
$$
1 \leq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leq \frac{(M+m)^{2}}{4 m M}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明左边不等式：∫f·∫(1/f) ≥ 1
由柯西-施瓦茨不等式（积分形式），对于平方可积函数有：
\[
\left( \int_0^1 \sqrt{f(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \,dx \right)^2 \le \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx
\]
左边括号内为：
\[
\int_0^1 1 \,dx = 1
\]
因此得到：
\[
1 \le \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx
\]
公式：\left( \int_0^1 \sqrt{f(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \,dx \right)^2 \le \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx
提示：注意柯西-施瓦茨不等式要求函数平方可积，这里f(x)和1/f(x)有界，满足条件。
步骤 2/5
目标：利用上下界构造关键不等式
由条件 \(0 < m \le f(x) \le M\)，可得 \((f(x)-m)(M-f(x)) \ge 0\)。展开得：
\[
-f(x)^2 + (M+m)f(x) - mM \ge 0
\]
移项并除以正数 \(f(x)\)：
\[
M+m - f(x) - \frac{mM}{f(x)} \ge 0
\]
即：
\[
f(x) + \frac{mM}{f(x)} \le M+m
\]
公式：f(x) + \frac{mM}{f(x)} \le M+m
提示：注意除以f(x)时f(x)>0，不等号方向不变。
步骤 3/5
目标：积分得到关于A和B的线性不等式
对上述不等式两边在[0,1]上积分，记 \(A = \int_0^1 f(x)\,dx\)，\(B = \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx\)，得：
\[
\int_0^1 f(x)\,dx + mM \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx \le \int_0^1 (M+m)\,dx
\]
即：
\[
A + mM B \le M+m
\]
公式：A + mM B \le M+m
提示：积分时注意常数mM和M+m可以直接提出积分号。
步骤 4/5
目标：应用AM-GM不等式得到乘积上界
由AM-GM不等式，对于正数A和mM B，有：
\[
A + mM B \ge 2\sqrt{A \cdot mM B} = 2\sqrt{mM \cdot AB}
\]
结合上一步的不等式 \(A + mM B \le M+m\)，得：
\[
2\sqrt{mM \cdot AB} \le M+m
\]
两边平方：
\[
4 mM \cdot AB \le (M+m)^2
\]
因此：
\[
AB \le \frac{(M+m)^2}{4mM}
\]
公式：2\sqrt{mM \cdot AB} \le M+m \quad \Rightarrow \quad AB \le \frac{(M+m)^2}{4mM}
提示：AM-GM不等式要求各项为正，这里A>0，mM B>0，满足条件。平方时注意两边非负。
步骤 5/5
目标：综合左右两边，完成证明
由第一步得到左边不等式 \(AB \ge 1\)，由第四步得到右边不等式 \(AB \le \frac{(M+m)^2}{4mM}\)，因此：
\[
1 \le \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx \le \frac{(M+m)^2}{4mM}
\]
公式：1 \le \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx \le \frac{(M+m)^2}{4mM}
提示：注意等号成立条件：左边等号当f(x)为常数时成立；右边等号当f(x)仅取m和M两个值时成立（例如阶梯函数）。
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