华中师范大学 2019年数学分析第6题
📝 题目
6．（ $\displaystyle \left.15^{\prime}\right)$ 求 $\displaystyle f(x, y)=x^{y}$ 在点 $\displaystyle (1,4)$ 处的带有余项 $\displaystyle o\left(\rho^{2}\right)$ 的泰勒公式，其中 $\displaystyle \rho=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-4)^{2}}$ ，并用它计算 $\displaystyle (1.08)^{3.96}$ 的近似值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算函数在点 (1,4) 处的函数值
给定函数 $f(x, y) = x^y$，代入点 $(1,4)$ 得：
$$f(1,4) = 1^4 = 1$$
公式：$f(1,4)=1$
提示：注意任何非零数的零次幂为1，但这里底数为1，结果直接为1。
步骤 2/5
目标：计算一阶偏导数在点 (1,4) 处的值
先对 $x$ 求偏导：$f_x = y x^{y-1}$，代入 $(1,4)$ 得 $f_x(1,4)=4 \cdot 1^{3}=4$。
再对 $y$ 求偏导：$f_y = x^y \ln x$，代入 $(1,4)$ 得 $f_y(1,4)=1^4 \cdot \ln 1 = 0$。
公式：$f_x(1,4)=4,\quad f_y(1,4)=0$
提示：求 $f_y$ 时需将 $x^y$ 视为指数函数 $e^{y\ln x}$ 再求导，避免混淆。
步骤 3/5
目标：计算二阶偏导数在点 (1,4) 处的值
求 $f_{xx}$：$f_{xx} = y(y-1)x^{y-2}$，代入得 $f_{xx}(1,4)=4\cdot3\cdot1^{2}=12$。
求 $f_{yy}$：$f_{yy} = x^y (\ln x)^2$，代入得 $f_{yy}(1,4)=1\cdot0=0$。
求混合偏导 $f_{xy}$：先对 $x$ 得 $f_x = y x^{y-1}$，再对 $y$ 得 $f_{xy} = x^{y-1} + y x^{y-1} \ln x$，代入得 $f_{xy}(1,4)=1^{3}+4\cdot1^{3}\cdot0=1$。
公式：$f_{xx}(1,4)=12,\; f_{yy}(1,4)=0,\; f_{xy}(1,4)=1$
提示：混合偏导的次序不影响结果，但计算时需仔细使用乘积法则。
步骤 4/5
目标：写出带有余项 $o(\rho^2)$ 的二阶泰勒公式
令 $\Delta x = x-1$，$\Delta y = y-4$，二阶泰勒展开为：
$$f(x,y)= f(1,4) + f_x \Delta x + f_y \Delta y + \frac12 \big( f_{xx} (\Delta x)^2 + 2 f_{xy} \Delta x \Delta y + f_{yy} (\Delta y)^2 \big) + o(\rho^2)$$
代入数值：
$$f(x,y)= 1 + 4\Delta x + 0\cdot \Delta y + \frac12 \big( 12 (\Delta x)^2 + 2\cdot 1 \cdot \Delta x \Delta y + 0 \big) + o(\rho^2)$$
化简得：
$$f(x,y)= 1 + 4\Delta x + 6 (\Delta x)^2 + \Delta x \Delta y + o(\rho^2)$$
公式：$f(x,y)=1+4(x-1)+6(x-1)^2+(x-1)(y-4)+o(\rho^2)$
提示：注意二阶项系数中的因子 $\frac12$ 不要遗漏，且 $\rho = \sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}$。
步骤 5/5
目标：计算近似值 $(1.08)^{3.96}$
取 $x=1.08$，$y=3.96$，则 $\Delta x = 0.08$，$\Delta y = -0.04$。代入泰勒展开式：
$$f \approx 1 + 4\times 0.08 + 6\times (0.08)^2 + (0.08)\times(-0.04)$$
逐项计算：
- $4\times 0.08 = 0.32$
- $(0.08)^2 = 0.0064$，乘以6得 $0.0384$
- $0.08 \times (-0.04) = -0.0032$
求和：$1 + 0.32 = 1.32$，$1.32 + 0.0384 = 1.3584$，$1.3584 - 0.0032 = 1.3552$。
公式：$(1.08)^{3.96} \approx 1.3552$
提示：注意 $\Delta y$ 为负值，计算乘积时符号不要出错。
步骤 6/7
目标：逐项计算近似值
逐项计算：
$4\times0.08 = 0.32$，
$6\times(0.08)^2 = 6\times0.0064 = 0.0384$，
$0.08\times(-0.04) = -0.0032$。
求和：$1 + 0.32 = 1.32$，$1.32 + 0.0384 = 1.3584$，$1.3584 - 0.0032 = 1.3552$。
公式：1.3552
提示：计算平方时注意小数位数，避免精度丢失。
步骤 7/7
目标：总结结果
泰勒公式为：
$$f(x,y)=1+4(x-1)+6(x-1)^2+(x-1)(y-4)+o(\rho^2)$$
近似计算得：
$$(1.08)^{3.96}\approx 1.3552$$
公式：\text{近似值}=1.3552
提示：最终结果保留四位小数即可，余项 $o(\rho^2)$ 在近似计算中被忽略。
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