华中师范大学 2019年数学分析第5题

将积分区间分为两段：$[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$。在 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，$2+x^3 \sim 2$，故被积函数 $\sim \frac{x}{x^\alpha \cdot 2} = \frac{1}{2} x^{1-\alpha}$。在 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，$2+x^3 \sim x^3$，故被积函数 $\sim \frac{\pi/2}{x^\alpha \cdot x^3} = \frac{\pi}{2} x^{-(\alpha+3)}$。

考虑 $\int_0^1 x^{1-\alpha} dx$ 的收敛性。幂函数 $x^p$ 在0点可积当且仅当 $p > -1$。这里 $p = 1-\alpha$，故需 $1-\alpha > -1$，即 $\alpha < 2$。

考虑 $\int_1^{+\infty} x^{-(\alpha+3)} dx$ 的收敛性。幂函数 $x^q$ 在无穷远处可积当且仅当 $q < -1$。这里 $q = -(\alpha+3)$，故需 $-(\alpha+3) < -1$，即 $\alpha+3 > 1$，亦即 $\alpha > -2$。

由两段收敛条件取交集：$\alpha < 2$ 且 $\alpha > -2$，故定义域为开区间 $(-2, 2)$。

任取 $[a, b] \subset (-2, 2)$，只需证明 $\varphi(\alpha)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。将积分分为 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 两段分别处理。

对于 $x \in (0,1]$，$\alpha \in [a,b]$，有 $\left| \frac{\arctan x}{x^\alpha(2+x^3)} \right| \le \frac{x}{x^\alpha \cdot 2} = \frac12 x^{1-\alpha}$。由于 $\alpha \le b$，且 $x<1$，指数越大值越小，故 $x^{1-\alpha} \le x^{1-b}$。因为 $b<2$，所以 $1-b > -1$，$\int_0^1 x^{1-b} dx$ 收敛。由Weierstrass判别法，积分在 $[a,b]$ 上一致收敛。

对于 $x \ge 1$，$\alpha \in [a,b]$，有 $\left| \frac{\arctan x}{x^\alpha(2+x^3)} \right| \le \frac{\pi/2}{x^\alpha \cdot x^3} = \frac{\pi}{2} x^{-(\alpha+3)}$。由于 $\alpha \ge a$，且 $x \ge 1$，指数越大值越小，故 $x^{-(\alpha+3)} \le x^{-(a+3)}$。因为 $a > -2$，所以 $a+3 > 1$，$\int_1^{+\infty} x^{-(a+3)} dx$ 收敛。由Weierstrass判别法，积分在 $[a,b]$ 上一致收敛。

被积函数 $f(x,\alpha) = \frac{\arctan x}{x^\alpha(2+x^3)}$ 对每个固定的 $x>0$ 关于 $\alpha$ 连续（指数函数连续），且积分在任意闭区间 $[a,b] \subset (-2,2)$ 上一致收敛。根据含参积分连续性定理，$\varphi(\alpha)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由 $[a,b]$ 的任意性知 $\varphi(\alpha)$ 在 $(-2,2)$ 内连续。