华中师范大学 2024年数学分析第4题

记 $u_n(x) = \\frac{\\operatorname{sgn}(x-x_n)}{2^n}$。对于固定的 $n$，当 $x < x_n$ 时，$\\operatorname{sgn}(x-x_n) = -1$，$u_n(x) = -1/2^n$；当 $x > x_n$ 时，$\\operatorname{sgn}(x-x_n) = 1$，$u_n(x) = 1/2^n$；当 $x = x_n$ 时，通常定义 $\\operatorname{sgn}(0)=0$，故 $u_n(x_n)=0$。因此每个 $u_n(x)$ 在 $(0,1)$ 上只有一个跳跃间断点 $x_n$，跳跃幅度为 $2/2^n = 1/2^{n-1}$。

对任意 $x \\in (0,1)$ 和任意 $n \\in \\mathbb{N}^+$，有 $\\left| \\frac{\\operatorname{sgn}(x-x_n)}{2^n} \\right| \\le \\frac{1}{2^n}$。而数项级数 $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{2^n}$ 收敛（公比为 $1/2$ 的等比级数），由 Weierstrass M-判别法，函数项级数 $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\operatorname{sgn}(x-x_n)}{2^n}$ 在 $(0,1)$ 上一致收敛。

设 $S(x) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\operatorname{sgn}(x-x_n)}{2^n}$。对于给定的 $x$，定义集合 $A(x) = \\{ n : x_n < x \\}$，$B(x) = \\{ n : x_n > x \\}$。由于数列互异，$x = x_n$ 的情况至多可数，不影响连续性讨论，可忽略。于是 $S(x) = \\sum_{n \\in A(x)} \\frac{1}{2^n} - \\sum_{n \\in B(x)} \\frac{1}{2^n}$。又因为 $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{2^n} = 1$，且 $\\sum_{n \\in A(x)} \\frac{1}{2^n} + \\sum_{n \\in B(x)} \\frac{1}{2^n} = 1$（忽略相等点），所以 $S(x) = 2 \\sum_{n \\in A(x)} \\frac{1}{2^n} - 1$。记 $F(x) = \\sum_{n: x_n < x} \\frac{1}{2^n}$，则 $S(x) = 2F(x) - 1$。

由 $S(x) = 2F(x) - 1$ 可知，$S(x)$ 的连续性与 $F(x)$ 相同。$F(x)$ 在 $x = x_n$ 处有跳跃间断，因为左极限 $F(x_n^-) = \\sum_{k: x_k < x_n} \\frac{1}{2^k}$，右极限 $F(x_n^+) = \\sum_{k: x_k \\le x_n} \\frac{1}{2^k} = F(x_n^-) + \\frac{1}{2^n}$，跳跃值为 $1/2^n$。因此 $S(x)$ 在 $x = x_n$ 处也有跳跃间断，跳跃值为 $2 \\cdot (1/2^n) = 1/2^{n-1}$。在不是任何 $x_n$ 的点上，$F(x)$ 连续，从而 $S(x)$ 连续。由于 $\{x_n\\}$ 是 $(0,1)$ 中互异的数列，它可以是稠密集（例如有理数的一个排列），因此间断点集可以是稠密的，极限函数在 $(0,1)$ 上不是处处连续的。

函数项级数 $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\operatorname{sgn}(x-x_n)}{2^n}$ 在 $(0,1)$ 上一致收敛，因为满足 Weierstrass M-判别法。极限函数 $S(x)$ 在每个 $x_n$ 处有跳跃间断（跳跃值为 $1/2^{n-1}$），在其他点连续。因此，极限函数在 $(0,1)$ 上不是处处连续的，其连续点集为 $(0,1) \\setminus \\{x_n\\}$。

函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x - x_n)}{2^n}$ 在 $(0,1)$ 上一致收敛；其极限函数 $f(x)$ 在每一个 $x_n$ 处有跳跃间断点（跳跃大小为 $\frac{1}{2^{n-1}}$），而在 $(0,1)$ 中除去 $\{x_n\}$ 的所有点上连续。