📝 华中师范大学 2024年数学分析真题

1．计算题
（1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ．
（2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数．
（3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$
（4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。
（5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。

2．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{n}=a b
$$

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 以及

$$
M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}, M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}
$$

均为有限数，证明：$\displaystyle M_{1} \leq 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ．

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

6．讨论 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

7．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在有界区间上一致连续的充分必要条件是当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是 $I$ 上的任意柯西数列时，$\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．

8．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n+1}-b_{n}\right)$ 绝对收敛。
（1）叙述阿贝尔变换，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 的部分和；
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；
（3）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。