华中师范大学 2024年数学分析第8题

设数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，记 $S_k = \sum_{n=1}^k x_n$，则阿贝尔变换为： \[ \sum_{n=1}^N x_n y_n = S_N y_{N+1} - \sum_{n=1}^N S_n (y_{n+1} - y_n) \] 对于本题，令 $x_n = a_n$，$y_n = b_n$，并记 $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$，则部分和为： \[ \sum_{n=1}^N a_n b_n = A_N b_{N+1} - \sum_{n=1}^N A_n (b_{n+1} - b_n) \]

已知级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，通项趋于零，即： \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] 因此数列 $\{a_n\}$ 收敛于 0。

由（1）的部分和表达式： \[ \sum_{n=1}^N a_n b_n = A_N b_{N+1} - \sum_{n=1}^N A_n (b_{n+1} - b_n) \] 已知 $\sum a_n$ 收敛，故 $A_n$ 收敛，记极限为 $A$，且 $\{A_n\}$ 有界。 已知 $\sum (b_{n+1} - b_n)$ 绝对收敛，故 $\sum |b_{n+1} - b_n|$ 收敛，且 $b_n$ 收敛，设 $b_n \to b$。 第一项：$A_N b_{N+1} \to A \cdot b$，为有限数。 第二项：考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty A_n (b_{n+1} - b_n)$。由于 $\{A_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $|A_n| \le M$，则： \[ \sum_{n=1}^\infty |A_n (b_{n+1} - b_n)| \le M \sum_{n=1}^\infty |b_{n+1} - b_n| < \infty \] 故该级数绝对收敛，从而收敛。 因此原部分和当 $N \to \infty$ 时趋于有限值： \[ A b - \sum_{n=1}^\infty A_n (b_{n+1} - b_n) \] 即 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ 收敛。

由（1）的部分和表达式： \[ S_N = \sum_{n=1}^N a_n b_n = A_N b_{N+1} - \sum_{n=1}^N A_n (b_{n+1} - b_n). \] 当 $N \to \infty$ 时： - 第一项 $A_N b_{N+1} \to A \cdot b$。 - 第二项：由于 $\{A_n\}$ 有界，且 $\sum_{n=1}^\infty |b_{n+1} - b_n|$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^\infty A_n (b_{n+1} - b_n)$ 绝对收敛，故部分和 $\sum_{n=1}^N A_n (b_{n+1} - b_n)$ 收敛。 因此 $S_N$ 趋于有限极限，即 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ 收敛。

再看第一项 $A_N b_{N+1}$：由于 $\sum (b_{n+1} - b_n)$ 收敛，其部分和为 $b_{N+1} - b_1$，所以当 $N\to\infty$ 时，$b_{N+1}$ 收敛到某个极限 $b$。于是 \[ \lim_{N\to\infty} A_N b_{N+1} = A b \] 因此，部分和 $\sum_{n=1}^N a_n b_n$ 趋于有限值 \[ A b - \sum_{n=1}^\infty A_n (b_{n+1} - b_n) \] 这就证明了原级数收敛。