华中师范大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在有界区间上一致连续的充分必要条件是当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是 $I$ 上的任意柯西数列时，$\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的结论，并区分必要性和充分性两个方向。
题目要求证明：函数 $f$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是，对于 $I$ 上的任意柯西列 $\{a_n\}$，其像 $\{f(a_n)\}$ 也是柯西列。我们将分别证明必要性和充分性。
提示：注意区间 $I$ 是有界的，但不一定闭，因此不能直接使用闭区间上的连续性质。
步骤 2/5
目标：证明必要性：由一致连续推出像序列是柯西列。
设 $f$ 在 $I$ 上一致连续。则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in I$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。
取 $\{a_n\}$ 为 $I$ 上的任意柯西列。对上述 $\delta > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \delta$。由一致连续性，此时 $|f(a_m) - f(a_n)| < \varepsilon$。因此 $\{f(a_n)\}$ 是柯西列。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y∈I: |x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
提示：一致连续中的 δ 只依赖于 ε，不依赖于点的位置，这是关键。
步骤 3/5
目标：证明充分性：假设像序列总是柯西列，用反证法证明一致连续。
假设 $f$ 不是一致连续的。则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $x, y \in I$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \ge \varepsilon_0$。
取 $\delta = 1/n$，得到两个数列 $\{x_n\}, \{y_n\} \subset I$，满足：
$$|x_n - y_n| < \frac{1}{n}, \quad |f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0.$$
公式：∃ε₀>0, ∀n∈ℕ, ∃xₙ,yₙ∈I: |xₙ−yₙ|<1/n 且 |f(xₙ)−f(yₙ)|≥ε₀
提示：反证法假设的否定形式要写准确：不是一致连续意味着存在一个固定的 ε₀ 无法被任何 δ 控制。
步骤 4/5
目标：利用区间有界性构造收敛子列，并导出矛盾。
由于区间 $I$ 有界，数列 $\{x_n\}$ 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $c \in \overline{I}$。因为 $|x_{n_k} - y_{n_k}| < 1/n_k \to 0$，所以 $\{y_{n_k}\}$ 也收敛到 $c$。
构造新数列 $\{b_n\}$：
$$b_1 = x_{n_1}, b_2 = y_{n_1}, b_3 = x_{n_2}, b_4 = y_{n_2}, \dots$$
则 $\{b_n\}$ 收敛到 $c$，因而是柯西列。但由构造，对任意 $k$，有 $|f(b_{2k-1}) - f(b_{2k})| = |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \ge \varepsilon_0$，因此 $\{f(b_n)\}$ 不是柯西列（因为存在固定的 $\varepsilon_0$ 使得无论下标多大，总有相邻项的函数值差大于等于 $\varepsilon_0$）。这与假设矛盾。
公式：|b_{2k-1} - b_{2k}| = |x_{n_k} - y_{n_k}| < 1/n_k \to 0, \quad |f(b_{2k-1}) - f(b_{2k})| \ge \varepsilon_0
提示：注意构造的数列 $\{b_n\}$ 是柯西列，但其像不是，从而与充分性条件矛盾。这里利用了区间有界性来保证子列收敛。
步骤 5/5
目标：总结结论。
必要性已直接证明，充分性由反证法得证。因此，函数 $f$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是：对 $I$ 上的任意柯西列 $\{a_n\}$，$\{f(a_n)\}$ 也是柯西列。
提示：该结论是一致连续性的一个重要刻画，常用于理论推导。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性（一致连续 ⇒ 保持柯西列）和充分性（保持柯西列 ⇒ 一致连续）均已证明，因此原命题成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述，必要性（$\Rightarrow$）和充分性（$\Leftarrow$）均得证，故命题成立。
提示：注意充要条件证明的两个方向要完整。
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