华中师范大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入辅助函数并建立关系
设 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，由于 $f$ 连续，$F$ 可导且 $F'(x) = f(x)$。则 $g(x) = f(x) \int_0^x f(t) \, dt = F'(x) F(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} [F(x)^2]$。
公式：$g(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} [F(x)^2]$
提示：注意 $F(0)=0$，且 $F(x)^2 \ge 0$ 恒成立。
步骤 2/4
目标：利用单调性得到不等式
由 $g(x)$ 单调递减，对任意 $x>0$ 有 $g(x) \le g(0) = f(0) \cdot 0 = 0$；对任意 $x<0$ 有 $g(x) \ge g(0) = 0$。即：
- 当 $x>0$ 时，$\frac{1}{2} \frac{d}{dx} [F(x)^2] \le 0$；
- 当 $x<0$ 时，$\frac{1}{2} \frac{d}{dx} [F(x)^2] \ge 0$。
公式：$g(x) \le 0 \ (x>0), \quad g(x) \ge 0 \ (x<0)$
提示：这里 $g(0)=0$ 是关键，因为积分上限为0时积分为0。
步骤 3/4
目标：分析 $F(x)^2$ 的单调性并推出 $F(x) \equiv 0$
令 $H(x) = \frac{1}{2} F(x)^2$，则 $H'(x) = g(x)$。
- 当 $x>0$ 时，$H'(x) \le 0$，故 $H(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调不增。又 $H(0)=0$ 且 $H(x) \ge 0$，因此对任意 $x \ge 0$ 必有 $H(x)=0$，否则若存在 $x_0>0$ 使 $H(x_0)>0$，则从 $0$ 增加到正数需要导数正，矛盾。
- 当 $x<0$ 时，$H'(x) \ge 0$，故 $H(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调不减。同样由 $H(0)=0$ 和 $H(x) \ge 0$ 得 $H(x)=0$ 对任意 $x \le 0$ 成立。
因此对所有实数 $x$，$H(x)=0$，即 $F(x)=0$。
公式：$H(x) = \frac{1}{2} F(x)^2 \equiv 0$
提示：注意 $H(x)$ 非负且 $H(0)=0$，结合单调性可推出恒为零，这是反证法的核心。
步骤 4/4
目标：由 $F(x) \equiv 0$ 推出 $f(x) \equiv 0$
由 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt \equiv 0$，两边对 $x$ 求导，利用微积分基本定理得 $f(x) = 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。
公式：$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) \, dt = f(x) = 0$
提示：此处要求 $f$ 连续以保证求导的合法性。
步骤 5/5
目标：由 $F(x)$ 导出 $f(x)$ 恒为零
由 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt \equiv 0$，两边对 $x$ 求导，利用微积分基本定理得 $f(x) = F'(x) = 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。因此 $f(x) \equiv 0$。
公式：$f(x) = F'(x) = 0$
提示：注意 $f$ 连续保证了 $F$ 可导且导数为 $f$，这是最后一步的严谨性所在。
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