华中师范大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．讨论 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算给定积分在固定 x>0 时的值
对固定的 $x>0$，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x y} \, dy = x \cdot \left[ -\frac{1}{x} e^{-x y} \right]_{0}^{+\infty} = \left[ - e^{-x y} \right]_{0}^{+\infty}
\]
当 $y \to +\infty$ 时，$e^{-x y} \to 0$；当 $y=0$ 时，值为 $-1$。因此
\[
= 0 - (-1) = 1
\]
所以对每个 $x>0$，积分收敛且值为 $1$。
公式：\int_{0}^{+\infty} x e^{-x y} \, dy = 1
提示：注意积分变量是 $y$，$x$ 是参数，不要混淆。计算时需确认 $x>0$ 以保证 $e^{-xy}$ 在无穷远处趋于 0。
步骤 2/5
目标：回顾含参变量广义积分一致收敛的定义
含参变量积分 $\int_0^{+\infty} g(x,y) \, dy$ 在区间 $I$ 上一致收敛是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在与 $x$ 无关的 $A>0$，使得对所有 $b>A$ 和所有 $x\in I$，都有
\[
\left|\int_b^{+\infty} g(x,y) \, dy\right| < \varepsilon
\]
即余项可以一致地小。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists A>0 \text{（与 }x\text{ 无关）}, \forall b>A, \forall x\in I: \left|\int_b^{+\infty} g(x,y)dy\right|<\varepsilon
提示：关键在于 $A$ 的选取不能依赖于 $x$，这是与逐点收敛的主要区别。
步骤 3/5
目标：计算余项并分析其与 x 的关系
考虑余项：
\[
R(x,b) = \int_b^{+\infty} x e^{-x y} \, dy = x \cdot \frac{e^{-x b}}{x} = e^{-x b}
\]
我们需要判断是否存在与 $x$ 无关的 $A$，使得当 $b>A$ 时，对所有 $x>0$ 都有 $e^{-x b} < \varepsilon$。
公式：R(x,b) = e^{-x b}
提示：余项化简后形式简单，便于分析。注意 $x$ 可以任意接近 0。
步骤 4/5
目标：通过反例说明不一致收敛
取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$。对于任意大的 $b$，我们可以选择 $x = \frac{1}{b}$（此时 $x>0$），则
\[
R(x,b) = e^{-x b} = e^{-1} \approx 0.3679 < \frac{1}{2}
\]
但更关键的是，考虑 $x$ 可以任意小：对固定的 $b$，当 $x \to 0^+$ 时，$e^{-x b} \to 1$。因此，无论 $b$ 取多大，总存在足够小的 $x$（例如 $x = \frac{1}{b^2}$）使得 $e^{-x b} = e^{-1/b} \to 1$（当 $b$ 固定时，$x$ 趋于 0 则余项趋于 1）。更直接地，取 $x = \frac{1}{b}$，余项恒为 $e^{-1}$，不随 $b$ 增大而趋于 0。所以不存在统一的 $A$ 使余项一致小于 $\varepsilon$。
公式：\lim_{x \to 0^+} e^{-x b} = 1 \quad \text{（对固定 } b\text{）}
提示：易错点：误以为因为 $e^{-xb}$ 对每个固定的 $x$ 随 $b$ 增大而趋于 0，就认为一致收敛。实际上 $x$ 很小时，$e^{-xb}$ 衰减很慢，无法一致控制。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
由于无法找到与 $x$ 无关的 $A$ 使得余项一致地小，根据定义，该积分在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。但可以证明，在任意闭区间 $[a,+\infty)$（其中 $a>0$）上，积分是一致收敛的（因为此时 $x \ge a>0$，余项 $e^{-xb} \le e^{-ab}$，可一致控制）。
公式：\text{在 }(0,+\infty)\text{ 上不一致收敛}
提示：注意区分开区间和闭区间。开区间包含端点附近（$x$ 接近 0）是导致不一致的原因。
步骤 6/6
目标：总结结论
虽然 $f(x)=1$ 是常数函数，但含参积分 $\int_0^{+\infty} x e^{-xy}\,dy$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。因为对于任意 $b>0$，存在 $x$ 使得余项 $e^{-xb}$ 大于某个正数。因此，原题答案应为：不一致收敛。
提示：注意：题目可能期望讨论含参积分的一致收敛性，而不是结果函数。
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