华中科技大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2 k-1}{n^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察求和项的数量级
当 $n$ 很大时，$\frac{2k-1}{n^2}$ 很小，因为分母是 $n^2$，分子最大为 $2n-1$，所以 $\frac{2k-1}{n^2} = O\left(\frac{1}{n}\right)$。这提示我们可以用 $\sin x \approx x$ 进行近似。
公式：$\frac{2k-1}{n^2} = O\left(\frac{1}{n}\right)$
提示：注意分子 $2k-1$ 的范围是从 $1$ 到 $2n-1$，因此最大值约为 $\frac{2}{n}$，确实很小。
步骤 2/5
目标：使用泰勒展开将正弦函数展开
对于很小的 $x$，有 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。令 $x_k = \frac{2k-1}{n^2}$，则原和式可写为：
$$\sum_{k=1}^n \sin x_k = \sum_{k=1}^n x_k - \frac{1}{6}\sum_{k=1}^n x_k^3 + \sum_{k=1}^n O(x_k^5)$$
公式：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
提示：展开到三次项即可，因为更高阶项在极限中会消失。
步骤 3/5
目标：计算主项的和
主项为 $\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{n^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1)$。前 $n$ 个奇数的和为 $n^2$，因此主项等于 $\frac{n^2}{n^2} = 1$。
公式：$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$
提示：奇数求和公式可以直接使用，也可用等差数列求和验证。
步骤 4/5
目标：估计三次项修正的大小
三次项为 $\frac{1}{6} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{n^2}\right)^3 = \frac{1}{6n^6} \sum_{k=1}^n (2k-1)^3$。前 $n$ 个奇数的立方和为 $n^2(2n^2-1)$，因此三次项等于 $\frac{1}{6n^6} \cdot n^2(2n^2-1) = \frac{2n^2-1}{6n^4} = \frac{1}{3n^2} - \frac{1}{6n^4}$。当 $n \to \infty$ 时，该项趋于 $0$。
公式：$\sum_{k=1}^n (2k-1)^3 = n^2(2n^2-1)$
提示：奇数的立方和可以通过自然数立方和减去偶数立方和推导，注意符号。
步骤 5/5
目标：估计更高阶项并取极限
更高阶项如 $O(x_k^5)$ 的和为 $\sum_{k=1}^n O\left(\frac{1}{n^5}\right) = O\left(\frac{1}{n^4}\right)$，当 $n \to \infty$ 时也趋于 $0$。因此原极限为 $1 - 0 + 0 = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} S_n = 1$
提示：注意余项的量级估计，确保所有修正项都趋于零。
步骤 6/6
目标：得出结论
由夹逼定理，原极限为 $1$，即：
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{2k-1}{n^2} = 1
\]
公式：\boxed{1}
提示：最终结果要写清楚，注意极限符号和求和符号的次序。
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