华中科技大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\left(2026^{x}-1\right) \ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析分母的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小：$2026^x - 1 \sim x \ln 2026$，$\ln(1+x^2) \sim x^2$。因此分母等价于 $(x \ln 2026) \cdot x^2 = x^3 \ln 2026$。
公式：$2026^x - 1 \sim x \ln 2026$，$\ln(1+x^2) \sim x^2$
提示：注意 $a^x - 1 \sim x \ln a$ 成立的条件是 $x \to 0$，且 $a>0$，$a \neq 1$。
步骤 2/6
目标：展开 $\tan x$ 和 $\sin x$ 到三阶
当 $x \to 0$ 时，$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。
公式：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
提示：展开到三阶即可，因为分母是 $x^3$ 量级，分子需要精确到 $x^3$ 项。
步骤 3/6
目标：计算 $\tan(\tan x)$ 的展开式
令 $u = \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。利用 $\tan u = u + \frac{u^3}{3} + O(u^5)$。计算 $u^3 = x^3 + O(x^5)$，代入得 $\tan(\tan x) = (x + \frac{x^3}{3}) + \frac{x^3}{3} + O(x^5) = x + \frac{2}{3}x^3 + O(x^5)$。
公式：$\tan(\tan x) = x + \frac{2}{3}x^3 + O(x^5)$
提示：复合函数展开时，先展开内层，再代入外层展开，注意保留到所需阶数。
步骤 4/6
目标：计算 $\sin(\sin x)$ 的展开式
令 $v = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。利用 $\sin v = v - \frac{v^3}{6} + O(v^5)$。计算 $v^3 = x^3 + O(x^5)$，代入得 $\sin(\sin x) = (x - \frac{x^3}{6}) - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
公式：$\sin(\sin x) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$
提示：注意 $\sin v$ 展开中 $v^3$ 项的系数是 $-\frac{1}{6}$，不要遗漏负号。
步骤 5/6
目标：计算分子的差
将两个展开式相减：$(x + \frac{2}{3}x^3) - (x - \frac{1}{3}x^3) + O(x^5) = x^3 + O(x^5)$。因此分子等价于 $x^3$。
公式：$\tan(\tan x) - \sin(\sin x) \sim x^3$
提示：一次项 $x$ 相互抵消，三阶项系数相加得到 $1$，验证了分子是 $x^3$ 量级。
步骤 6/6
目标：求极限
分子 $\sim x^3$，分母 $\sim x^3 \ln 2026$，因此极限为 $\frac{1}{\ln 2026}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\tan x) - \sin(\sin x)}{(2026^x - 1)\ln(1+x^2)} = \frac{1}{\ln 2026}$
提示：等价无穷小替换后，分子分母的 $x^3$ 约去，结果仅与常数 $\ln 2026$ 有关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。