华中科技大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（10 分）设 $\displaystyle \theta \in(-1,1)$ ，试求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1+\theta \cos x}{1-\theta \cos x}\right) \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察对称性并化简被积函数
注意到对数部分可以写成双曲反正切形式：
\[
\ln\left(\frac{1+\theta\cos x}{1-\theta\cos x}\right) = 2\operatorname{artanh}(\theta\cos x)
\]
因此原积分化为：
\[
I(\theta)=2\int_0^{\pi/2} \frac{\operatorname{artanh}(\theta\cos x)}{\cos x}\,dx
\]
公式：\ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right)=2\operatorname{artanh}u
提示：注意双曲反正切函数的定义域要求|u|<1，这里θ∈(-1,1)且cos x∈[0,1]，所以θcos x∈(-1,1)，满足条件。
步骤 2/5
目标：对参数θ求导，简化积分
由于θ∈(-1,1)时积分与求导可交换，对I(θ)关于θ求导：
\[
I'(\theta)=2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial}{\partial\theta}\operatorname{artanh}(\theta\cos x)\,dx
\]
而
\[
\frac{d}{d\theta}\operatorname{artanh}(\theta\cos x)=\frac{\cos x}{1-\theta^2\cos^2 x}
\]
代入得：
\[
I'(\theta)=2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{1-\theta^2\cos^2 x}\,dx = 2\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1-\theta^2\cos^2 x}
\]
公式：\frac{d}{d\theta}\operatorname{artanh}(\theta\cos x)=\frac{\cos x}{1-\theta^2\cos^2 x}
提示：求导时注意链式法则，且积分与求导交换的条件是积分区间有限且被积函数连续可微。
步骤 3/5
目标：计算关于x的积分
计算积分：
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1-\theta^2\cos^2 x}
\]
令t=tan x，则cos²x=1/(1+t²)，dx=dt/(1+t²)，当x:0→π/2时t:0→∞。于是：
\[
1-\theta^2\cos^2 x = 1-\frac{\theta^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2-\theta^2}{1+t^2}
\]
被积函数变为：
\[
\frac{1}{1-\theta^2\cos^2 x} = \frac{1+t^2}{1+t^2-\theta^2}
\]
乘以dx得：
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1-\theta^2\cos^2 x} = \int_0^\infty \frac{dt}{1+t^2-\theta^2} = \int_0^\infty \frac{dt}{t^2+(1-\theta^2)}
\]
这是标准积分，a=√(1-θ²)>0：
\[
\int_0^\infty \frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{\pi}{2a}
\]
所以：
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1-\theta^2\cos^2 x} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-\theta^2}}
\]
公式：\int_0^\infty \frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{\pi}{2a},\quad a>0
提示：换元时注意积分限的变化，以及分母配方后要保证a>0，这里θ∈(-1,1)满足条件。
步骤 4/5
目标：得到I'(θ)并积分求I(θ)
由前一步结果：
\[
I'(\theta) = 2 \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{1-\theta^2}} = \frac{\pi}{\sqrt{1-\theta^2}}
\]
对θ积分：
\[
I(\theta) = \int \frac{\pi}{\sqrt{1-\theta^2}} d\theta = \pi \arcsin\theta + C
\]
确定常数C：当θ=0时，原积分为0，即I(0)=0，代入得π·0+C=0，故C=0。因此：
\[
I(\theta) = \pi \arcsin\theta
\]
公式：\int \frac{d\theta}{\sqrt{1-\theta^2}} = \arcsin\theta + C
提示：积分常数由θ=0时的原积分值确定，注意arcsinθ的主值范围。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
所以题目所求积分为：
\[
\boxed{\pi \arcsin\theta}
\]
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1+\theta\cos x}{1-\theta\cos x}\right) \frac{1}{\cos x} dx = \pi \arcsin\theta
提示：最终结果简洁，注意θ∈(-1,1)时arcsinθ有意义。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此原积分结果为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1+\theta\cos x}{1-\theta\cos x}\right) \frac{1}{\cos x} \, \mathrm{d}x = \pi \arcsin \theta$$
公式：$\boxed{\pi \arcsin \theta}$
提示：最终答案简洁，注意 $\theta$ 的取值范围。
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