华中科技大学 2026年数学分析第4题

题目要求计算傅里叶系数的平方和 $\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$。对于定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的函数 $f(x)$，其傅里叶级数为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，由帕塞瓦尔恒等式有： $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2\,dx = \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$$ 因此，所求为 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx - \frac{a_0^2}{2}$。

首先计算 $f(x)^2 = \frac{1}{4\pi^2 - x^2}$，则 $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx}{4\pi^2 - x^2}$$ 利用部分分式分解：$\frac{1}{4\pi^2 - x^2} = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{1}{2\pi - x}+\frac{1}{2\pi + x}\right)$，于是 $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx}{4\pi^2 - x^2} = \frac{1}{4\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{2\pi - x}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{2\pi + x}\right)$$ 计算两个积分： $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{2\pi - x} = -\ln|2\pi - x|\big|_{-\pi}^{\pi} = -\ln(\pi)+\ln(3\pi)=\ln 3$ $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{2\pi + x} = \ln|2\pi + x|\big|_{-\pi}^{\pi} = \ln(3\pi)-\ln(\pi)=\ln 3$ 所以原积分 $= \frac{1}{4\pi}(\ln 3+\ln 3)=\frac{\ln 3}{2\pi}$。

由傅里叶系数公式：$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx}{\sqrt{4\pi^2 - x^2}}$。 该积分为标准形式 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C$，其中 $a=2\pi$，因此 $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx}{\sqrt{4\pi^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{2\pi}\Big|_{-\pi}^{\pi} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}$$ 所以 $a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3}$。

先计算 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\ln 3}{2\pi} = \frac{\ln 3}{2\pi^2}$。 再计算 $\frac{a_0^2}{2} = \frac{(1/3)^2}{2} = \frac{1}{18}$。 因此，由 Parseval 等式得： $$\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2) = \frac{\ln 3}{2\pi^2} - \frac{1}{18}$$

由第二步，$a_0 = 1/3$，所以 $$\frac{a_0^2}{2} = \frac{(1/3)^2}{2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}.$$

将第四步和第五步的结果代入第一步的表达式： $$\sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \frac{\ln 3}{2\pi^2} - \frac{1}{18}.$$