华南理工大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、（12 分）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{0}=a>0, x_{n}=\arctan x_{n-1}, n=1,2, \cdots$ ．证明：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=0$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列单调递减且有下界，从而极限存在
已知 $x_0 = a > 0$，且 $x_n = \arctan x_{n-1}$。由于 $\arctan t$ 在 $t>0$ 时满足 $0 < \arctan t < t$，因此 $0 < x_1 = \arctan a < a$。假设 $0 < x_{n-1} < x_{n-2}$，则 $x_n = \arctan x_{n-1} < \arctan x_{n-2} = x_{n-1}$，且 $x_n > 0$。由数学归纳法知，数列严格递减且以 $0$ 为下界，故极限存在，记作 $L$。
公式：$0 < x_n < x_{n-1}$
提示：注意 $\arctan$ 在正数区间是严格递增且小于自变量的性质。
步骤 2/6
目标：利用递推式取极限得到极限值
对递推式 $x_n = \arctan x_{n-1}$ 两边取极限，由 $\arctan$ 的连续性得 $L = \arctan L$。方程 $L = \arctan L$ 在实数范围内只有解 $L=0$（因为当 $L>0$ 时 $\arctan L < L$，当 $L<0$ 时 $\arctan L > L$）。因此 $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$。
公式：$L = \arctan L \Rightarrow L=0$
提示：不动点方程需结合函数图像或单调性判断唯一解。
步骤 3/6
目标：对递推式进行泰勒展开，得到渐近关系
当 $x$ 很小时，$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。代入递推式得 $x_n = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^3}{3} + O(x_{n-1}^5)$。
公式：$x_n = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^3}{3} + O(x_{n-1}^5)$
提示：泰勒展开时注意余项阶数，确保后续近似有效。
步骤 4/6
目标：构造倒平方序列并推导递推关系
令 $y_n = \frac{1}{x_n^2}$。由 $x_n = x_{n-1}\left(1 - \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)\right)$，取倒数平方得 $y_n = \frac{1}{x_{n-1}^2}\left(1 - \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)\right)^{-2}$。利用展开 $(1-u)^{-2} = 1 + 2u + O(u^2)$，其中 $u = \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)$，得到 $y_n = y_{n-1}\left(1 + \frac{2}{3}x_{n-1}^2 + O(x_{n-1}^4)\right)$。代入 $x_{n-1}^2 = 1/y_{n-1}$ 得 $y_n = y_{n-1} + \frac{2}{3} + O\left(\frac{1}{y_{n-1}}\right)$。
公式：$y_n = y_{n-1} + \frac{2}{3} + O\left(\frac{1}{y_{n-1}}\right)$
提示：展开时注意 $u$ 的准确表达式，避免遗漏高阶项。
步骤 5/6
目标：利用累加得到 $y_n$ 的渐近行为
当 $n$ 很大时，$y_{n-1}$ 很大，误差项 $O(1/y_{n-1})$ 可忽略。由递推近似得 $y_n \approx y_0 + \frac{2n}{3}$。严格地，由 $y_n - y_{n-1} \to \frac{2}{3}$ 及 Cesàro 平均或 Stolz 定理可得 $\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = \frac{2}{3}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = \frac{2}{3}$
提示：可用 Stolz 定理严格证明极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = \lim_{n\to\infty} (y_n - y_{n-1}) = \frac{2}{3}$。
步骤 6/6
目标：反解出 $x_n$ 的渐近式并得到所求极限
由 $y_n = 1/x_n^2 \sim \frac{2n}{3}$ 得 $x_n \sim \sqrt{\frac{3}{2n}}$，因此 $\sqrt{\frac{2n}{3}} \, x_n \to 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n}{3}} \, x_n = 1$
提示：注意 $\sim$ 表示等价无穷小，极限为1。
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