📝 华南理工大学 2025年数学分析真题
第1题
1、（12 分）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{0}=a>0, x_{n}=\arctan x_{n-1}, n=1,2, \cdots$ ．证明：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=0$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=0$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．
第2题
2、（12 分）已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续。
第3题
3、（12 分）设 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，证明：$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leq \frac{1}{x^{2}}+1 \frac{4}{\pi^{2}}$ ．
第4题
4、（14 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$
证明：（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d \mathbf{f}(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处有偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \mathbf{d} \mathbf{f}(\mathbf{0}, \mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．
证明：（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d \mathbf{f}(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处有偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \mathbf{d} \mathbf{f}(\mathbf{0}, \mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．
第5题
5、（12 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可导．
（1）证明：若 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得
$$
f(1)=1+(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \cdot \ln 2 .
$$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \cdot(\sqrt[n]{1+x}-1)=\ln (1+x),(x \in(0,1))$ ．
（1）证明：若 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得
$$
f(1)=1+(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \cdot \ln 2 .
$$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \cdot(\sqrt[n]{1+x}-1)=\ln (1+x),(x \in(0,1))$ ．
第6题
6、（12 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在折线段函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ ， $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
第7题
7．（12 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收玫域与和函数 $\displaystyle S(x)$ ．
第8题
8、（12 分）计算曲面积分 $\displaystyle F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中
$$
f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}
1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\
0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1
\end{array}\right.
$$
$$
f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}
1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\
0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1
\end{array}\right.
$$
第9题
9、（12 分）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
第10题
10、（12分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ．
证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \cdot \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ．
证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \cdot \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ．
第11题
11、（13 分）设 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=z(x, y)$ ．若取 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，试着用新变量 $\displaystyle u, v$ 变换等式：$\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \approx\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
注：其中所有出现的二阶偏导数都连续．
注：其中所有出现的二阶偏导数都连续．
第12题
12、（15 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x \cdot e^{-n^{2} x^{2}}, x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots$ ．证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由．
（3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上积分平均收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由．
（3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上积分平均收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．