华南理工大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、（12 分）计算曲面积分 $\displaystyle F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中
$$
f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}
1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\
0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解被积函数的分段定义
函数 $f(x,y,z)$ 在单位球 $x^2+y^2+z^2 \le 1$ 内取值为 $1-x^2-y^2-z^2$，在球外取值为 $0$。因此曲面积分只在平面 $x+y+z=t$ 与单位球相交的部分上非零。
公式：f(x,y,z)=\begin{cases}1-x^2-y^2-z^2, & x^2+y^2+z^2\le 1\\0, & x^2+y^2+z^2>1\end{cases}
提示：注意被积函数仅在球内有值，积分区域需考虑平面与球的交集。
步骤 2/6
目标：确定积分存在的条件及交线半径
平面 $x+y+z=t$ 到原点的距离为 $d=|t|/\sqrt{3}$。平面与球有交的条件是 $d\le 1$，即 $|t|\le \sqrt{3}$。当 $|t|>\sqrt{3}$ 时，积分结果为 $0$。当 $|t|\le \sqrt{3}$ 时，交线是一个圆，其半径 $R$ 满足 $R^2=1-t^2/3$。
公式：d=\frac{|t|}{\sqrt{3}},\quad R=\sqrt{1-\frac{t^2}{3}}
提示：距离公式要正确，注意绝对值。
步骤 3/6
目标：利用几何关系化简被积函数
在平面上任一点，到原点的距离平方 $r^2$ 可分解为：$r^2=\rho^2+\frac{t^2}{3}$，其中 $\rho$ 是点到垂足 $(t/3,t/3,t/3)$ 的距离。于是被积函数 $1-r^2=1-\left(\rho^2+\frac{t^2}{3}\right)=\left(1-\frac{t^2}{3}\right)-\rho^2$。
公式：r^2=\rho^2+\frac{t^2}{3},\quad 1-r^2=\left(1-\frac{t^2}{3}\right)-\rho^2
提示：垂足坐标和距离分解是关键，注意平面内径向距离 $\rho$ 的引入。
步骤 4/6
目标：将曲面积分化为平面上的二重积分
在平面 $x+y+z=t$ 上，面积元 $\mathrm{d}S$ 就是平面上的面积元。积分区域是半径为 $R$ 的圆盘。采用极坐标 $(\rho,\theta)$，其中 $0\le\theta<2\pi$，$0\le\rho\le R$，则 $\mathrm{d}S=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta$。积分化为：
$$F(t)=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\left[\left(1-\frac{t^2}{3}\right)-\rho^2\right]\rho\,\mathrm{d}\rho.$$
公式：F(t)=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\left(A-\rho^2\right)\rho\,\mathrm{d}\rho,\quad A=1-\frac{t^2}{3}
提示：注意面积元在极坐标下的形式，不要遗漏 $\rho$ 因子。
步骤 5/6
目标：计算内层对 $\rho$ 的积分
令 $A=1-t^2/3$，则 $R^2=A$。计算：
$$\int_0^R (A\rho-\rho^3)\,\mathrm{d}\rho = \frac{A R^2}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{A\cdot A}{2} - \frac{A^2}{4} = \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{4} = \frac{A^2}{4}.$$
公式：\int_0^R (A\rho-\rho^3)\,\mathrm{d}\rho = \frac{A^2}{4}
提示：注意 $R^2=A$ 的代入，避免代数错误。
步骤 6/6
目标：完成积分并写出最终结果
乘以 $2\pi$ 得：
$$F(t)=2\pi\cdot\frac{A^2}{4} = \frac{\pi}{2}A^2 = \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{t^2}{3}\right)^2,\quad |t|\le\sqrt{3}.$$
当 $|t|>\sqrt{3}$ 时，$F(t)=0$。
公式：F(t)=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{t^2}{3}\right)^2, & |t|\le\sqrt{3}\\0, & |t|>\sqrt{3}\end{cases}
提示：最终答案要分段写出，注意定义域。
步骤 7/7
目标：综合写出最终表达式
当 $|t| > \sqrt{3}$ 时，积分为 $0$。因此
\[
F(t) = \begin{cases}
\frac{\pi}{2} \left(1 - \frac{t^2}{3}\right)^2, & |t| \le \sqrt{3},\\
0, & |t| > \sqrt{3}.
\end{cases}
\]
提示：注意分段函数的定义域。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。