华南理工大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．（12 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收玫域与和函数 $\displaystyle S(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定收敛域
令 $t = x^4$，则原级数化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n-1}}{4n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{4n+1}$。对 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{4n+1}$ 用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{t^{n+1}/(4n+5)}{t^n/(4n+1)} \right| = |t| \lim_{n\to\infty} \frac{4n+1}{4n+5} = |t|$，故收敛半径 $|t|<1$，即 $|x|<1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |t|$
提示：注意 $x=0$ 时级数无定义，需单独排除。
步骤 2/7
目标：讨论端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n+1}$，与调和级数比较发散；当 $x=-1$ 时，$(-1)^{4n-1} = -1$，级数为 $-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n+1}$，也发散；$x=0$ 时第一项无定义。故收敛域为 $(-1,0)\cup(0,1)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n+1}$ 发散
提示：端点处需代入原级数判断，注意 $(-1)^{4n-1} = -1$。
步骤 3/7
目标：构造辅助函数并积分
考虑 $F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$，则 $F'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n} = \frac{x^4}{1-x^4}$（$|x|<1$），且 $F(0)=0$。积分得 $F(x) = \int_0^x \frac{u^4}{1-u^4} \, du$。
公式：$F'(x) = \frac{x^4}{1-x^4}$
提示：逐项求导时需验证一致收敛性，此处幂级数在收敛区间内可逐项求导。
步骤 4/7
目标：用辅助函数表示原和函数
原级数 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n-1}}{4n+1} = \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1} = \frac{F(x)}{x^2}$，因此 $S(x) = \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{u^4}{1-u^4} \, du$。
公式：$S(x) = \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{u^4}{1-u^4} \, du$
提示：注意 $x^{4n-1} = x^{-2} \cdot x^{4n+1}$，需确保 $x \neq 0$。
步骤 5/7
目标：化简积分表达式
被积函数 $\frac{u^4}{1-u^4} = -1 + \frac{1}{1-u^4}$，因为 $\frac{u^4}{1-u^4} = \frac{u^4-1+1}{1-u^4} = -1 + \frac{1}{1-u^4}$。于是 $\int_0^x \frac{u^4}{1-u^4} \, du = -x + \int_0^x \frac{du}{1-u^4}$。
公式：$\frac{u^4}{1-u^4} = -1 + \frac{1}{1-u^4}$
提示：有理函数分解是常见技巧，注意符号。
步骤 6/7
目标：计算积分 $\int \frac{du}{1-u^4}$
利用部分分式：$\frac{1}{1-u^4} = \frac{1}{(1-u)(1+u)(1+u^2)} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} + \frac{2}{1+u^2} \right)$。因此 $\int_0^x \frac{du}{1-u^4} = \frac{1}{4}\left[ -\ln|1-u| + \ln|1+u| + 2\arctan u \right]_0^x = \frac{1}{4}\left( \ln\frac{1+x}{1-x} + 2\arctan x \right)$。
公式：$\int \frac{du}{1-u^4} = \frac{1}{4}\left( \ln\frac{1+u}{1-u} + 2\arctan u \right) + C$
提示：注意绝对值，在 $|x|<1$ 时 $1-x>0$，可去掉绝对值。
步骤 7/7
目标：写出和函数的最终形式
代入得 $\int_0^x \frac{u^4}{1-u^4} \, du = -x + \frac{1}{4}\left( \ln\frac{1+x}{1-x} + 2\arctan x \right)$，故 $S(x) = \frac{1}{x^2}\left[ -x + \frac{1}{4}\left( \ln\frac{1+x}{1-x} + 2\arctan x \right) \right] = -\frac{1}{x} + \frac{1}{4x^2}\left( \ln\frac{1+x}{1-x} + 2\arctan x \right)$，其中 $x \in (-1,0)\cup(0,1)$。
公式：$S(x) = -\frac{1}{x} + \frac{1}{4x^2}\left( \ln\frac{1+x}{1-x} + 2\arctan x \right)$
提示：结果需注明收敛域，且 $x=0$ 处无定义。
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