华南理工大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、（12 分）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，即极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_0^b f(x) \, dx$ 存在且有限。同时已知 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，记该极限为 $L$。需要证明 $L = 0$。
公式：$\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
提示：注意收敛性意味着积分值有限，极限存在是额外条件。
步骤 2/5
目标：假设极限不为零，并考虑正数情形
用反证法。假设 $L \neq 0$。不妨先设 $L > 0$（若 $L < 0$ 可类似讨论，或考虑 $-f(x)$）。由极限定义，取 $\varepsilon = \frac{L}{2} > 0$，则存在 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时，有 $f(x) > L - \varepsilon = \frac{L}{2} > 0$。
公式：$\forall x > X, \ f(x) > \frac{L}{2}$
提示：极限定义中 $\varepsilon$ 的选取要保证下界为正，以便后续积分发散。
步骤 3/5
目标：利用下界估计积分，导出矛盾
对于任意 $b > X$，考虑积分 $\int_X^b f(x) \, dx$。由 $f(x) > \frac{L}{2}$ 得：
\[
\int_X^b f(x) \, dx > \int_X^b \frac{L}{2} \, dx = \frac{L}{2}(b - X).
\]
令 $b \to +\infty$，右边趋于 $+\infty$，因此 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散到正无穷。但原积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，减去有限区间 $[0, X]$ 的积分后应仍收敛，矛盾。
公式：$\int_X^b f(x) \, dx > \frac{L}{2}(b - X) \to +\infty \ (b \to +\infty)$
提示：注意收敛积分减去有限部分仍收敛，此处发散导致矛盾。
步骤 4/5
目标：处理负数的情形
若 $L < 0$，取 $\varepsilon = -\frac{L}{2} > 0$，则存在 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时，有 $f(x) < L + \varepsilon = \frac{L}{2} < 0$。于是对于 $b > X$，
\[
\int_X^b f(x) \, dx < \int_X^b \frac{L}{2} \, dx = \frac{L}{2}(b - X) \to -\infty \quad (b \to +\infty),
\]
同样导致矛盾。
公式：$\int_X^b f(x) \, dx < \frac{L}{2}(b - X) \to -\infty$
提示：负数情形只需将不等式反向，推理完全对称。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于假设 $L \neq 0$ 导致矛盾，故必有 $L = 0$。即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：反证法核心：假设非零则积分发散，与收敛矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)，证毕。
公式：\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}
提示：注意极限存在是必要条件，否则反例存在（如震荡函数）。
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