华南理工大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、（12分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ．
证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \cdot \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将广义积分写成极限形式
由于积分上限为无穷，且 $x=0$ 处被积函数可能有奇点（分母为0），因此这是一个广义积分。将其拆分为两部分，分别处理 $x\to 0^+$ 和 $x\to +\infty$ 的极限：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lim_{A \to +\infty} \int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx
$$
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lim_{A \to +\infty} \int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx
提示：注意广义积分需要同时考虑下限和上限的极限，不能直接计算。
步骤 2/6
目标：变量替换，将积分转化为关于 $f(t)/t$ 的形式
对第一项 $\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)}{x} dx$ 作代换 $t = ax$，则 $x = t/a$，$dx = dt/a$，且 $\frac{dx}{x} = \frac{dt}{t}$。积分限变为 $t: a\varepsilon \to aA$，因此：
$$
\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)}{x} dx = \int_{a\varepsilon}^{aA} \frac{f(t)}{t} dt
$$
同理，对第二项 $\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(bx)}{x} dx$ 作代换 $t = bx$，得：
$$
\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(bx)}{x} dx = \int_{b\varepsilon}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt
$$
于是原积分变为：
$$
\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = \int_{a\varepsilon}^{aA} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt
$$
公式：\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = \int_{a\varepsilon}^{aA} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt
提示：变量替换时注意 $dx/x = dt/t$ 这一关键简化，且积分限要同步变换。
步骤 3/6
目标：合并积分区间，简化表达式
利用区间拆分与合并技巧，将两个积分之差转化为两个小区间上的积分之差。由于 $a
公式：\int_{\varepsilon}^{A} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{aA}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt
提示：注意区间 $[b\varepsilon, aA]$ 在相减时抵消，这是关键步骤，需确保 $\varepsilon$ 足够小且 $A$ 足够大使得 $b\varepsilon < aA$ 成立（当 $\varepsilon$ 很小且 $A$ 很大时显然成立）。
步骤 4/6
目标：取极限 $\varepsilon \to 0^+$，计算第一项积分
当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，区间 $[a\varepsilon, b\varepsilon]$ 长度趋于0，且 $f(t)$ 在 $t=0$ 处连续。由积分中值定理，存在 $\xi_\varepsilon \in [a\varepsilon, b\varepsilon]$ 使得：
$$
\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(\xi_\varepsilon) \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{dt}{t} = f(\xi_\varepsilon) \ln\left( \frac{b\varepsilon}{a\varepsilon} \right) = f(\xi_\varepsilon) \ln\left( \frac{b}{a} \right)
$$
当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，$\xi_\varepsilon \to 0$，由连续性得 $f(\xi_\varepsilon) \to f(0)$，因此：
$$
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(0) \ln\left( \frac{b}{a} \right)
$$
公式：\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(0) \ln\left( \frac{b}{a} \right)
提示：这里使用了积分中值定理，注意 $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} dt/t = \ln(b/a)$ 与 $\varepsilon$ 无关，这是简化关键。
步骤 5/6
目标：取极限 $A \to +\infty$，计算第二项积分
当 $A \to +\infty$ 时，区间 $[aA, bA]$ 趋于无穷远，且 $\lim_{t \to +\infty} f(t) = k$。由积分中值定理，存在 $\eta_A \in [aA, bA]$ 使得：
$$
\int_{aA}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt = f(\eta_A) \int_{aA}^{bA} \frac{dt}{t} = f(\eta_A) \ln\left( \frac{bA}{aA} \right) = f(\eta_A) \ln\left( \frac{b}{a} \right)
$$
当 $A \to +\infty$ 时，$\eta_A \to +\infty$，由极限条件得 $f(\eta_A) \to k$，因此：
$$
\lim_{A \to +\infty} \int_{aA}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt = k \ln\left( \frac{b}{a} \right)
$$
公式：\lim_{A \to +\infty} \int_{aA}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt = k \ln\left( \frac{b}{a} \right)
提示：同样使用积分中值定理，注意 $\int_{aA}^{bA} dt/t = \ln(b/a)$ 与 $A$ 无关，这是关键。
步骤 6/6
目标：合并极限，得到最终结果
将两个极限结果代入原积分表达式：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lim_{A \to +\infty} \left( \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{aA}^{bA} \frac{f(t)}{t} dt \right) = f(0) \ln\left( \frac{b}{a} \right) - k \ln\left( \frac{b}{a} \right) = (f(0)-k) \ln\left( \frac{b}{a} \right)
$$
证明完毕。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = [f(0)-k] \cdot \ln\left( \frac{b}{a} \right)
提示：最终结果中 $f(0)-k$ 是常数，$\ln(b/a)$ 为正数（因为 $b>a>0$），注意符号不要搞反。
步骤 7/7
目标：合并极限得到最终结果
综合以上两步：
$$I = \lim_{T\to+\infty} \lim_{\varepsilon\to0^+} I(\varepsilon, T) = f(0)\ln\left(\frac{b}{a}\right) - k\ln\left(\frac{b}{a}\right) = (f(0)-k)\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$
因此原积分等式成立。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = [f(0)-k] \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
提示：证明中利用了极限的可交换性，实际上由于两个极限分别收敛，顺序不影响结果。
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