华南理工大学 2025年数学分析第6题

已知 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可积（题目中区间应为 $[0,1]$）。需要证明存在一列折线段函数 $\{\varphi_n(x)\}$，使得 $\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \varphi_n(x) \, dx$。折线函数是连续的分段线性函数，其积分容易计算。

对每个自然数 $n$，将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，分点为 $x_k = \frac{k}{n}, k=0,1,\dots,n$。定义阶梯函数 $\psi_n(x)$ 在每个子区间 $[x_{k-1}, x_k)$ 上取值为 $f(x_k)$（或 $f$ 在子区间上的任意值），端点处可任意定义。由 $f$ 的可积性，当 $n \to \infty$ 时，有 $\int_0^1 |f(x) - \psi_n(x)| \, dx \to 0$，从而 $\int_0^1 \psi_n(x) \, dx \to \int_0^1 f(x) \, dx$。

阶梯函数 $\psi_n$ 在分点处有跳跃，需要将其连续化。取 $\delta = \frac{1}{n^2}$，在每个分点 $x_k$ 附近构造长度为 $2\delta$ 的过渡区间 $[x_k - \delta, x_k + \delta]$。在此区间内，用线性函数连接左右两侧的阶梯函数值，使得整体函数连续且分段线性；在过渡区间之外，保持 $\psi_n$ 的值。这样得到的新函数 $\varphi_n(x)$ 是折线函数。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上有界（可积函数必有界），设 $|f(x)| \leq M$，则 $|\psi_n(x)| \leq M$，从而 $|\varphi_n(x) - \psi_n(x)| \leq 2M$ 仅在总长度不超过 $2n\delta = \frac{2}{n}$ 的区间上非零，因此 $\left|\int_0^1 \psi_n(x)\,dx - \int_0^1 \varphi_n(x)\,dx\right| \leq 2M \cdot \frac{2}{n} = \frac{4M}{n} \to 0$。

由三角不等式： $$ \left|\int_0^1 f(x)\,dx - \int_0^1 \varphi_n(x)\,dx\right| \leq \left|\int_0^1 f - \int_0^1 \psi_n\right| + \left|\int_0^1 \psi_n - \int_0^1 \varphi_n\right|. $$ 第一项因阶梯函数逼近趋于 $0$，第二项因上述构造也趋于 $0$，故 $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \varphi_n(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx$。

我们构造了折线段函数列 $\{\varphi_n(x)\}$，其积分极限等于 $f$ 的积分，从而完成了证明。

由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，根据黎曼积分的定义，当分割的最大子区间长度 $\frac{1}{n} \to 0$ 时，任意黎曼和都收敛到积分值。因此： $$\lim_{n\to\infty} L_n = \int_0^1 f(x)\,dx, \quad \lim_{n\to\infty} R_n = \int_0^1 f(x)\,dx.$$ 由极限的线性性质： $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \varphi_n(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \frac{L_n+R_n}{2} = \frac{1}{2}\left(\int_0^1 f + \int_0^1 f\right) = \int_0^1 f(x)\,dx.$$

我们构造的折线段函数列 $\{\varphi_n(x)\}$ 满足： $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \varphi_n(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx.$$ 这就完成了证明。对于一般区间 $[a,b]$，只需通过线性变换 $x = a + (b-a)t$ 将问题转化到 $[0,1]$ 上，结论同样成立。