华南理工大学 2025年数学分析第5题

已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=1$。要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(1)=1+(1+\xi)f'(\xi)\ln 2$。将等式变形为 $\frac{f(1)-1}{\ln 2} = (1+\xi)f'(\xi)$。观察左边是差商形式，右边涉及 $1+\xi$ 和 $f'(\xi)$，考虑构造两个函数：$\varphi(x)=f(x)-1$ 和 $\psi(x)=\ln(1+x)$。易见 $\varphi(0)=0$，$\psi(0)=0$，且 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $[0,1]$ 上满足柯西中值定理的条件。

由柯西中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\frac{\varphi(1)-\varphi(0)}{\psi(1)-\psi(0)} = \frac{\varphi'(\xi)}{\psi'(\xi)}$。代入 $\varphi(1)=f(1)-1$，$\varphi(0)=0$，$\psi(1)=\ln 2$，$\psi(0)=0$，$\varphi'(\xi)=f'(\xi)$，$\psi'(\xi)=\frac{1}{1+\xi}$，得到 $\frac{f(1)-1}{\ln 2} = \frac{f'(\xi)}{1/(1+\xi)} = (1+\xi)f'(\xi)$。两边乘以 $\ln 2$ 即得 $f(1)-1 = (1+\xi)f'(\xi)\ln 2$，移项得 $f(1)=1+(1+\xi)f'(\xi)\ln 2$。

第（2）问要求证明 $\lim_{n \to +\infty} n \cdot (\sqrt[n]{1+x}-1) = \ln(1+x)$，其中 $x \in (0,1)$。令 $a_n = n \left( (1+x)^{1/n} - 1 \right)$。设 $t = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时 $t \to 0^+$，于是 $a_n = \frac{(1+x)^t - 1}{t}$。考虑函数 $h(t) = (1+x)^t = e^{t \ln(1+x)}$，则 $h(0)=1$，极限式变为 $\lim_{t \to 0} \frac{h(t)-h(0)}{t}$，这正是 $h(t)$ 在 $t=0$ 处的导数定义。

计算 $h(t) = (1+x)^t$ 的导数：$h'(t) = (1+x)^t \ln(1+x)$。因此 $h'(0) = (1+x)^0 \ln(1+x) = \ln(1+x)$。由导数定义，$\lim_{t \to 0} \frac{h(t)-h(0)}{t} = h'(0) = \ln(1+x)$。代回原变量得 $\lim_{n \to +\infty} n \cdot (\sqrt[n]{1+x}-1) = \ln(1+x)$。

因此，对于任意 $x \in (0,1)$，有 $\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt[n]{1+x}-1) = \ln(1+x)$，得证。

考虑极限 $\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{1+x}-1)$，令 $t = \frac{1}{n}$，则 $n \to \infty$ 对应 $t \to 0^+$，原式化为 $\lim_{t\to 0^+} \frac{(1+x)^t - 1}{t}$。

令 $h(t) = (1+x)^t = e^{t\ln(1+x)}$，则 $h(0)=1$，且 $h'(t) = \ln(1+x) \cdot e^{t\ln(1+x)}$，故 $h'(0) = \ln(1+x)$。由导数定义，$\lim_{t\to 0} \frac{h(t)-h(0)}{t} = h'(0) = \ln(1+x)$。

因此 $\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{1+x}-1) = \ln(1+x)$，对任意 $x \in (0,1)$ 成立。