华南理工大学 2025年数学分析第12题
📝 题目
12、（15 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x \cdot e^{-n^{2} x^{2}}, x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots$ ．证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由．
（3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上积分平均收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明逐点收敛于0
对于任意固定的 $x \in [0,1]$，分两种情况讨论：
- 若 $x=0$，则 $f_n(0)=n\cdot0\cdot e^0=0$，显然 $\lim_{n\to\infty}f_n(0)=0$。
- 若 $x>0$，则 $f_n(x)=nxe^{-n^2x^2}$。由于指数函数 $e^{-n^2x^2}$ 衰减速度远快于线性增长，取极限得 $\lim_{n\to\infty}nxe^{-n^2x^2}=x\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^{n^2x^2}}=0$。
因此对每个 $x\in[0,1]$，$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$，即 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $f(x)\equiv0$。
公式：\lim_{n\to\infty} n x e^{-n^2 x^2} = 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意 $x=0$ 时直接代入即可，$x>0$ 时利用指数函数增长快于多项式函数。
步骤 2/3
目标：判断并证明是否一致收敛
计算 $\|f_n-0\|_\infty = \sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)|$。令 $g_n(x)=nxe^{-n^2x^2}$，求导得 $g_n'(x)=ne^{-n^2x^2}(1-2n^2x^2)$。令导数为0得 $1-2n^2x^2=0$，解得 $x=\frac{1}{\sqrt{2}n}\in[0,1]$。代入得最大值：$f_n\left(\frac{1}{\sqrt{2}n}\right)=n\cdot\frac{1}{\sqrt{2}n}\cdot e^{-n^2\cdot\frac{1}{2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2}$，这是一个与 $n$ 无关的正常数（约0.4289）。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=\frac{1}{\sqrt{2e}}>0$，不趋于0，故不一致收敛。
公式：\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)| = \frac{1}{\sqrt{2e}} \not\to 0 \quad (n\to\infty)
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而这里上确界是常数，因此不是一致收敛。
步骤 3/3
目标：证明积分平均收敛于0
计算 $\int_0^1 |f_n(x)-0|dx = \int_0^1 nxe^{-n^2x^2}dx$。作变量代换 $u=nx$，则 $du=ndx$，$dx=du/n$，当 $x=0$ 时 $u=0$，$x=1$ 时 $u=n$。于是积分化为 $\int_0^n u e^{-u^2}\cdot\frac{du}{n} = \frac{1}{n}\int_0^n u e^{-u^2}du$。计算 $\int_0^n u e^{-u^2}du = \left[-\frac{1}{2}e^{-u^2}\right]_0^n = \frac{1}{2}(1-e^{-n^2})$。因此 $\int_0^1 |f_n(x)|dx = \frac{1}{2n}(1-e^{-n^2})$。当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{2n}\to0$，$1-e^{-n^2}\to1$，故极限为0，即积分平均收敛于0。
公式：\int_0^1 n x e^{-n^2 x^2} dx = \frac{1}{2n}(1-e^{-n^2}) \to 0 \quad (n\to\infty)
提示：换元时注意 $dx$ 的变换，避免漏掉因子 $1/n$。
步骤 4/4
目标：总结三个结论
（1）函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $f(x)\equiv 0$。\n（2）函数列在 $[0,1]$ 上不一致收敛于0，因为其一致范数（最大值）恒为常数 $\frac{1}{\sqrt{2e}}$，不趋于0。\n（3）函数列在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于0，因为积分值 $\int_0^1 f_n(x) \, dx \le \frac{1}{2n} \to 0$。
公式：\text{逐点收敛：} \lim_{n\to\infty} f_n(x)=0; \quad \text{不一致收敛：} \sup|f_n-0|=\frac{1}{\sqrt{2e}}; \quad \text{积分平均收敛：} \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n=0
提示：注意区分逐点收敛、一致收敛和积分平均收敛的概念：逐点收敛是点态极限，一致收敛要求整体误差一致小，积分平均收敛是函数差的积分趋于0。
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