华南理工大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（12 分）设 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，证明：$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leq \frac{1}{x^{2}}+1 \frac{4}{\pi^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确证明目标并修正题目笔误
题目中疑似笔误，根据常见题型，应证明：对于 $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$，有 $\frac{1}{\sin^2 x} \leq \frac{1}{x^2} + 1 - \frac{4}{\pi^2}$。
公式：\frac{1}{\sin^2 x} \leq \frac{1}{x^2} + 1 - \frac{4}{\pi^2}
提示：注意区间端点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处等号成立。
步骤 2/7
目标：构造函数并转化不等式
令 $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}$，则原不等式等价于证明 $f(x) \leq 1 - \frac{4}{\pi^2}$ 对 $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ 成立。
公式：f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}
提示：构造函数是处理不等式问题的常用技巧。
步骤 3/7
目标：求导并分析单调性
求导得 $f'(x) = -\frac{2\cos x}{\sin^3 x} + \frac{2}{x^3} = 2\left(\frac{1}{x^3} - \frac{\cos x}{\sin^3 x}\right)$。为判断 $f'(x)$ 的符号，考虑辅助函数 $g(x) = \frac{\sin^3 x}{x^3} - \cos x$。若 $g(x) \geq 0$，则 $\frac{1}{x^3} \geq \frac{\cos x}{\sin^3 x}$，从而 $f'(x) \geq 0$。
公式：f'(x) = 2\left(\frac{1}{x^3} - \frac{\cos x}{\sin^3 x}\right)
提示：注意求导时链式法则的正确使用。
步骤 4/7
目标：证明辅助函数 $g(x) > 0$
在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上，利用不等式 $\tan x > x$，即 $\frac{\sin x}{\cos x} > x$，可得 $\sin x > x \cos x$。两边立方得 $\sin^3 x > x^3 \cos^3 x$，即 $\frac{\sin^3 x}{x^3} > \cos^3 x$。由于 $0 < \cos x \leq 1$，有 $\cos^3 x \leq \cos x$，因此 $\frac{\sin^3 x}{x^3} > \cos x$，即 $g(x) > 0$。
公式：\frac{\sin^3 x}{x^3} > \cos x
提示：利用基本不等式 $\tan x > x$ 是证明的关键，注意 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$。
步骤 5/7
目标：确定 $f(x)$ 的单调性
由 $g(x) > 0$ 知 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 成立，故 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2}]$ 上严格递增。
公式：f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ 严格递增}
提示：单调性判断需注意区间端点处的连续性。
步骤 6/7
目标：利用单调性求最大值
由于 $f(x)$ 递增，最大值在右端点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处取得：$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sin^2(\pi/2)} - \frac{1}{(\pi/2)^2} = 1 - \frac{4}{\pi^2}$。因此对任意 $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$，有 $f(x) \leq 1 - \frac{4}{\pi^2}$。
公式：f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - \frac{4}{\pi^2}
提示：计算端点值时注意 $\sin(\pi/2)=1$。
步骤 7/7
目标：还原原不等式并得出结论
由 $f(x) \leq 1 - \frac{4}{\pi^2}$ 即 $\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \leq 1 - \frac{4}{\pi^2}$，移项得 $\frac{1}{\sin^2 x} \leq \frac{1}{x^2} + 1 - \frac{4}{\pi^2}$，等号在 $x = \frac{\pi}{2}$ 时成立。
公式：\frac{1}{\sin^2 x} \leq \frac{1}{x^2} + 1 - \frac{4}{\pi^2}
提示：最终不等式需注意区间端点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处等号成立。
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