南京航空航天大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．压缩数列 $\displaystyle \left|x_{n}-x_{n-1}\right| \leq r\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|, r \in(0,1)$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一定收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义相邻项差并建立递推不等式
设 $d_n = |x_n - x_{n-1}|$，则题目条件化为 $d_n \le r d_{n-1}$，其中 $n \ge 2$，$r \in (0,1)$。
公式：d_n \le r d_{n-1}
提示：注意下标范围，$d_1 = |x_1 - x_0|$ 是初始常数。
步骤 2/6
目标：递推得到相邻项差的几何级数上界
反复应用递推不等式，得到 $d_n \le r^{n-1} d_1$，即相邻项差以几何级数衰减。
公式：d_n \le r^{n-1} d_1
提示：递推时注意指数：$d_2 \le r d_1$，$d_3 \le r d_2 \le r^2 d_1$，依此类推。
步骤 3/6
目标：利用三角不等式估计任意两项之差
对任意 $m > n$，有 $|x_m - x_n| \le \sum_{k=n+1}^{m} |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=n+1}^{m} d_k$。
公式：|x_m - x_n| \le \sum_{k=n+1}^{m} d_k
提示：三角不等式是估计差分的常用技巧，注意求和从 $n+1$ 到 $m$。
步骤 4/6
目标：代入几何级数上界并求和
代入 $d_k \le r^{k-1} d_1$，得 $\sum_{k=n+1}^{m} d_k \le d_1 \sum_{k=n+1}^{m} r^{k-1} = d_1 r^n \frac{1 - r^{m-n}}{1 - r} \le \frac{d_1 r^n}{1 - r}$。
公式：|x_m - x_n| \le \frac{d_1 r^n}{1 - r}
提示：等比数列求和公式 $\sum_{k=0}^{p} r^k = \frac{1 - r^{p+1}}{1 - r}$，注意指数变换。
步骤 5/6
目标：证明数列是Cauchy列
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 满足 $\frac{d_1 r^N}{1 - r} < \varepsilon$，则当 $m > n \ge N$ 时，$|x_m - x_n| \le \frac{d_1 r^n}{1 - r} \le \frac{d_1 r^N}{1 - r} < \varepsilon$。因此 $\{x_n\}$ 是Cauchy列。
公式：\frac{d_1 r^N}{1 - r} < \varepsilon
提示：Cauchy列定义要求对任意正数存在公共指标，这里$n$越大上界越小，取$N$即可。
步骤 6/6
目标：由实数完备性得到收敛
在实数集中，任何Cauchy列都收敛，故数列 $\{x_n\}$ 收敛。
提示：实数完备性是分析学基本定理，注意此处默认在$\mathbb{R}$中讨论。
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