南京航空航天大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．解答如下问题：
（1）未知．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}, a_{1}=1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出数列前几项，观察趋势
计算数列的前几项：
$a_1 = 1$，
$a_2 = \frac{1+2}{1+1} = \frac{3}{2} = 1.5$，
$a_3 = \frac{1.5+2}{1.5+1} = \frac{3.5}{2.5} = 1.4$，
$a_4 = \frac{1.4+2}{1.4+1} = \frac{3.4}{2.4} \approx 1.4167$，
$a_5 = \frac{1.4167+2}{1.4167+1} \approx \frac{3.4167}{2.4167} \approx 1.4138$。
可见数值在1.414附近振荡，提示极限可能为$\sqrt{2}$。
公式：a_{n+1} = \frac{a_n+2}{a_n+1}
提示：观察前几项有助于猜测极限值，但需严格证明。
步骤 2/4
目标：求不动点，猜测极限
若极限存在，设为$L$，则满足$L = \frac{L+2}{L+1}$。两边乘以$L+1$得：
$L(L+1) = L+2$，
$L^2 + L = L + 2$，
$L^2 = 2$，
故$L = \sqrt{2}$或$L = -\sqrt{2}$。由于$a_1=1>0$且递推保持正数，极限应为正，故猜测极限为$\sqrt{2}$。
公式：L = \frac{L+2}{L+1} \Rightarrow L^2 = 2
提示：不动点方程是求极限的常用方法，但需先证明收敛性。
步骤 3/4
目标：构造辅助数列，简化递推
将递推式改写为：
$a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n+1}$。
引入辅助数列$b_n = \frac{a_n - \sqrt{2}}{a_n + \sqrt{2}}$。计算$b_{n+1}$：
$a_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{a_n+2}{a_n+1} - \sqrt{2} = \frac{a_n(1-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2})}{a_n+1}$，
$a_{n+1} + \sqrt{2} = \frac{a_n+2}{a_n+1} + \sqrt{2} = \frac{a_n(1+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2})}{a_n+1}$。
分子分母分别提取因子：
分子 = $(\sqrt{2}-1)(-a_n + \sqrt{2})$，
分母 = $(\sqrt{2}+1)(a_n + \sqrt{2})$。
于是
$b_{n+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{-a_n + \sqrt{2}}{a_n + \sqrt{2}} = (\sqrt{2}-1)^2 \cdot (-b_n)$。
记$k = (\sqrt{2}-1)^2$，则$b_{n+1} = -k \, b_n$。
公式：b_{n+1} = -k \, b_n, \quad k = (\sqrt{2}-1)^2
提示：构造辅助数列是处理分式递推的常用技巧，注意共轭形式的化简。
步骤 4/4
目标：求辅助数列通项，证明收敛
计算$b_1 = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = - (\sqrt{2}-1)^2 = -k$。
由$b_{n+1} = -k \, b_n$得：
$b_n = (-k)^{n-1} b_1 = (-k)^{n-1} \cdot (-k) = (-1)^n k^n$。
由于$0 < k = (\sqrt{2}-1)^2 < 1$，当$n \to \infty$时，$b_n \to 0$。
由$b_n = \frac{a_n - \sqrt{2}}{a_n + \sqrt{2}} \to 0$，可得$a_n \to \sqrt{2}$。
公式：b_n = (-1)^n k^n, \quad \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}
提示：利用等比数列的收敛性，注意$|k|<1$是收敛的关键。
步骤 5/5
目标：求极限并总结
由第二步的方程 $L^2=2$ 和数列为正，得极限 $L=\sqrt{2}$。结合第四步的压缩性，数列收敛性得证。因此数列 $\{a_n\}$ 收敛，极限为 $\sqrt{2}$。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}
提示：最终答案需明确写出极限值，并确认收敛性已证明。
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