南昌大学 2024年数学分析第10题
📝 题目
10、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设定已知条件
已知函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$（存在有限），以及 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = M$（存在有限）。要证明 $M = 0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = M$
提示：注意极限存在且有限是前提，不能是无穷大。
步骤 2/4
目标：应用拉格朗日中值定理建立联系
对于任意充分大的 $x$，考虑区间 $[x, x+1]$。由于 $f(x)$ 在 $[x, x+1]$ 上连续，在 $(x, x+1)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (x, x+1)$ 使得 $f(x+1) - f(x) = f'(\xi_x) \cdot 1$，即 $f'(\xi_x) = f(x+1) - f(x)$。
公式：$f'(\xi_x) = f(x+1) - f(x)$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里满足条件。
步骤 3/4
目标：取极限并推导结论
当 $x \to +\infty$ 时，由于 $\xi_x \in (x, x+1)$，故 $\xi_x \to +\infty$。由已知 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = M$，得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(\xi_x) = M$。另一方面，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} [f(x+1) - f(x)] = L - L = 0$。因此 $M = 0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(\xi_x) = \lim_{x \to +\infty} [f(x+1) - f(x)] = 0$
提示：注意 $\xi_x$ 依赖于 $x$，但极限存在性保证了子列极限相同。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，若 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 在 $x \to +\infty$ 时的极限都存在，则 $f'(x)$ 的极限必为 $0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$
提示：此结论是微积分中一个经典结果，常用于判断导数在无穷远处的行为。
步骤 5/6
目标：处理M<0的情况
若 $M < 0$，类似地取 $\varepsilon = -\frac{M}{2} > 0$，存在 $X > a$ 使当 $x > X$ 时 $f'(x) < M + \frac{|M|}{2} = \frac{M}{2} < 0$，则 $f(x) - f(X) < \frac{M}{2}(x - X) \to -\infty$，与极限存在矛盾。
公式：$f'(x) < \frac{M}{2} < 0$, $f(x) \to -\infty$
提示：M<0时，取ε为-M/2，确保导数有负上界。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $M$ 既不能为正也不能为负，只能 $M = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$
提示：反证法完成，结论成立。
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