📝 南昌大学 2024年数学分析真题

1、计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[n]{2024} \cdot\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \cdot n^{3}}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ．

2、计算定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x \cdot e^{x} \mathrm{~d} x$ ．

3、计算积分 $\displaystyle \int_{C} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，
其中曲线 $C$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 沿圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 依逆时针方向到 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周．

4、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
f(a)+f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) .
$$

5、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．讨论函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(0,0)$ 及 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ 的和．

7、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{a+\frac{1}{n}}},(a>0)$ 的玫散性．

8、设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：

$$
x_{n}=\sin \left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots \text { 且 } 0<x_{0}<\frac{\pi}{2} .
$$

证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫且极限为 0 ．
（2）试着求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．

9、计算： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x^{2}}-e^{-2 x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x$ ．

10、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

11、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．