南昌大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(a)+f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中点与半区间长度，简化表达式
设中点 $c = \frac{a+b}{2}$，半区间长度 $h = \frac{b-a}{2}$，则 $a = c - h$，$b = c + h$。原等式化为：
$$f(c-h) + f(c+h) - 2f(c) = h^2 f''(\xi)$$
公式：$$c = \frac{a+b}{2},\quad h = \frac{b-a}{2}$$
提示：注意 $h$ 是区间长度的一半，不要误写为 $b-a$。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并确定常数
定义辅助函数 $F(t) = f(c+t) + f(c-t) - 2f(c) - t^2 K$，其中 $K$ 为待定常数。令 $F(h)=0$，解得：
$$K = \frac{f(c+h) + f(c-h) - 2f(c)}{h^2}$$
此时 $F(0)=0$ 显然成立。
公式：$$F(t) = f(c+t) + f(c-t) - 2f(c) - t^2 K$$
提示：构造辅助函数是解决中值问题的常用技巧，目的是利用罗尔定理。
步骤 3/5
目标：第一次应用罗尔定理
由于 $F(0)=F(h)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta \in (0, h)$ 使得 $F'(\eta)=0$。计算导数：
$$F'(t) = f'(c+t) - f'(c-t) - 2tK$$
代入 $t=\eta$ 得：
$$f'(c+\eta) - f'(c-\eta) = 2\eta K$$
公式：$$F'(\eta)=0 \Rightarrow f'(c+\eta) - f'(c-\eta) = 2\eta K$$
提示：求导时注意 $f(c-t)$ 的导数为 $-f'(c-t)$，符号不要出错。
步骤 4/5
目标：第二次应用拉格朗日中值定理
对函数 $f'(x)$ 在区间 $[c-\eta, c+\eta]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (c-\eta, c+\eta) \subset (a, b)$ 使得：
$$f'(c+\eta) - f'(c-\eta) = f''(\xi) \cdot (2\eta)$$
代入上一步结果得：
$$2\eta f''(\xi) = 2\eta K$$
由于 $\eta > 0$，故 $f''(\xi) = K$。
公式：$$f''(\xi) = K = \frac{f(c+h)+f(c-h)-2f(c)}{h^2}$$
提示：注意 $f$ 二阶可导保证了 $f'$ 可导，从而拉格朗日中值定理适用。
步骤 5/5
目标：回代得到原结论
将 $K$ 的表达式和 $h = \frac{b-a}{2}$ 代入，得：
$$f(a)+f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{(b-a)^2}{4} f''(\xi)$$
其中 $\xi \in (a, b)$，结论得证。
公式：$$f(a)+f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^2}{4} f''(\xi)$$
提示：最终结果中 $\xi$ 的存在性由中值定理保证，无需具体求出。
步骤 6/6
目标：整理结论
代入 $h=\frac{b-a}{2}$，得 $f(a)+f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f''(\xi)h^2=\frac{(b-a)^2}{4}f''(\xi)$，其中 $\xi\in(a,b)$。
提示：注意 $\xi$ 的范围：$x_0-\theta h$ 和 $x_0+\theta h$ 都在 $(a,b)$ 内，故 $\xi\in(a,b)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。