南昌大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3、计算积分 $\displaystyle \int_{C} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，
其中曲线 $C$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 沿圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 依逆时针方向到 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：检查是否为恰当微分或可用格林公式
设 $P(x,y) = \frac{y^2}{\sqrt{1+x^2}}$, $Q(x,y) = 4x + 2y \ln(x+\sqrt{1+x^2})$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}$，
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 4 + 2y \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 4 + \frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}$。
比较得 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4 \neq 0$，故不是恰当微分，但可用格林公式转化为二重积分。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4$
提示：注意对 $\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 求导时，结果为 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，这是常见导数公式。
步骤 2/5
目标：构造封闭曲线并应用格林公式
曲线 $C$ 仅为上半圆周（从 $A(1,0)$ 逆时针到 $B(-1,0)$），不封闭。补上从 $B(-1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $A(1,0)$ 的直线段 $C_1$（$y=0$），则 $C \cup C_1$ 构成逆时针封闭曲线，围成上半圆盘区域 $D$。由格林公式：
$\oint_{C \cup C_1} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_D 4\,dx\,dy$。
公式：$\oint_{C \cup C_1} P\,dx + Q\,dy = \iint_D 4\,dx\,dy$
提示：格林公式要求曲线正向（逆时针），此处 $C$ 方向已为逆时针，$C_1$ 从 $B$ 到 $A$ 与 $C$ 衔接后整体为逆时针。
步骤 3/5
目标：计算二重积分
区域 $D$ 是半径为 $1$ 的上半圆盘，面积为 $\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$。因此：
$\iint_D 4\,dx\,dy = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi$。
故 $\int_C P\,dx+Q\,dy + \int_{C_1} P\,dx+Q\,dy = 2\pi$。
公式：$\iint_D 4\,dx\,dy = 2\pi$
提示：半圆面积公式易错，注意是 $\frac{1}{2}\pi r^2$，此处 $r=1$。
步骤 4/5
目标：计算直线段 $C_1$ 上的积分
在 $C_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，从 $x=-1$ 到 $x=1$（方向 $B \to A$）。此时 $P = \frac{0^2}{\sqrt{1+x^2}} = 0$，$Q$ 项因 $dy=0$ 贡献为 $0$，故：
$\int_{C_1} P\,dx+Q\,dy = \int_{-1}^1 0\,dx = 0$。
公式：$\int_{C_1} P\,dx+Q\,dy = 0$
提示：直线段上 $y=0$ 使 $P$ 和 $Q\,dy$ 均为零，无需复杂计算。
步骤 5/5
目标：得出原曲线积分结果
由 $\int_C P\,dx+Q\,dy + 0 = 2\pi$，得：
$\int_C \frac{y^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx + \left(4x + 2y\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)dy = 2\pi$。
公式：$\int_C P\,dx+Q\,dy = 2\pi$
提示：最终结果需化简为最简形式，注意检查符号。
步骤 6/6
目标：得到原曲线积分结果
由于 $\oint_{C+L} = \int_C + \int_L$，所以 $\int_C = \oint_{C+L} - \int_L = 2\pi - 0 = 2\pi$。
公式：$\int_C P\,dx+Q\,dy = 2\pi$
提示：注意符号：封闭曲线积分减去直线段积分。
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