南昌大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2、计算定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x \cdot e^{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用三角恒等式化简被积函数
由三角恒等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，原积分化为：
$$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \cdot e^x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} e^x \, dx = \frac12 \int_{0}^{\pi} e^x \, dx + \frac12 \int_{0}^{\pi} e^x \cos 2x \, dx$$
公式：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
提示：注意将积分拆分为两个简单积分，不要遗漏系数 $\frac12$。
步骤 2/5
目标：计算第一个积分 $\int_{0}^{\pi} e^x \, dx$
直接积分得：
$$\int_{0}^{\pi} e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{\pi} = e^{\pi} - 1$$
公式：$\int e^x \, dx = e^x + C$
提示：代入上下限时注意 $e^0 = 1$。
步骤 3/5
目标：计算第二个积分 $\int e^x \cos 2x \, dx$ 的不定积分
使用公式 $\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$，其中 $a=1, b=2$，得：
$$\int e^x \cos 2x \, dx = \frac{e^x}{1^2 + 2^2} (1 \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$$
公式：$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$
提示：公式中的分母是 $a^2 + b^2$，不要忘记平方。
步骤 4/5
目标：代入上下限计算定积分 $\int_{0}^{\pi} e^x \cos 2x \, dx$
代入上下限：
$$\left[ \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x) \right]_{0}^{\pi} = \frac{e^{\pi}}{5} (\cos 2\pi + 2 \sin 2\pi) - \frac{e^0}{5} (\cos 0 + 2 \sin 0) = \frac{e^{\pi}}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{e^{\pi} - 1}{5}$$
公式：$\cos 2\pi = 1, \sin 2\pi = 0, \cos 0 = 1, \sin 0 = 0$
提示：注意 $\sin 2\pi = 0$ 和 $\sin 0 = 0$，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：合并两个积分的结果得到最终答案
原积分 = $\frac12 (e^{\pi} - 1) + \frac12 \cdot \frac{e^{\pi} - 1}{5} = \frac12 (e^{\pi} - 1) \left(1 + \frac15\right) = \frac12 (e^{\pi} - 1) \cdot \frac65 = \frac{3}{5} (e^{\pi} - 1)$
公式：合并系数：$\frac12 + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}$
提示：最后化简时注意分数运算，$\frac12 \cdot \frac65 = \frac{3}{5}$。
步骤 6/6
目标：计算原积分并化简结果
原积分 = $\frac12 (e^{\pi} - 1) + \frac12 I = \frac12 (e^{\pi} - 1) + \frac12 \cdot \frac15 (e^{\pi} - 1) = \frac12 (e^{\pi} - 1) + \frac{1}{10} (e^{\pi} - 1)$
合并同类项：$\left( \frac{5}{10} + \frac{1}{10} \right) (e^{\pi} - 1) = \frac{6}{10} (e^{\pi} - 1) = \frac{3}{5} (e^{\pi} - 1)$
公式：$\frac12 + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}$
提示：最终结果需化简为最简分数形式。
步骤 7/7
目标：组合两部分结果，得到最终答案
原积分 $= \frac12 (e^{\pi} - 1) + \frac12 \cdot \frac{e^{\pi} - 1}{5}$
$$= \frac12 (e^{\pi} - 1) \left(1 + \frac15\right) = \frac12 (e^{\pi} - 1) \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{5} (e^{\pi} - 1)$$
公式：$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \cdot e^{x} \, dx = \frac{3}{5}(e^{\pi} - 1)$
提示：合并时提取公因式 $\frac12(e^{\pi}-1)$，注意分数加法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。