南昌大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．讨论函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(0,0)$ 及 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求偏导数 f_x'(0,0)
由偏导数的定义：
\[
f_x'(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}
\]
当 \(\Delta x \neq 0\) 时，代入函数表达式：
\[
f(\Delta x, 0) = \frac{(\Delta x)^3 - 0^3}{(\Delta x)^2 + 0^2} = \frac{(\Delta x)^3}{(\Delta x)^2} = \Delta x
\]
而 \(f(0,0)=0\)，所以：
\[
f_x'(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 1 = 1
\]
公式：f_x'(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}
提示：注意分段函数在原点处必须用定义求偏导，不能直接对表达式求导。
步骤 2/6
目标：求偏导数 f_y'(0,0)
由偏导数的定义：
\[
f_y'(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y}
\]
当 \(\Delta y \neq 0\) 时：
\[
f(0, \Delta y) = \frac{0^3 - (\Delta y)^3}{0^2 + (\Delta y)^2} = \frac{-(\Delta y)^3}{(\Delta y)^2} = -\Delta y
\]
所以：
\[
f_y'(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-\Delta y - 0}{\Delta y} = -1
\]
公式：f_y'(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}
提示：注意符号：分子是 - (Δy)^3，化简后为 -Δy。
步骤 3/6
目标：写出可微性判别极限表达式
要判断可微，需检查极限：
\[
L = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0) - f_x'(0,0)\Delta x - f_y'(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}
\]
代入 \(f(0,0)=0\)，\(f_x'(0,0)=1\)，\(f_y'(0,0)=-1\)，分子为：
\[
f(\Delta x, \Delta y) - \Delta x + \Delta y
\]
其中 \(f(\Delta x, \Delta y) = \frac{(\Delta x)^3 - (\Delta y)^3}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)，于是：
\[
L = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{ \frac{(\Delta x)^3 - (\Delta y)^3}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} - \Delta x + \Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}
\]
公式：L = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{ f(\Delta x, \Delta y) - \Delta x + \Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}
提示：注意偏导数值代入时符号：f_y'(0,0) = -1，所以减去 (-1)Δy 变成 +Δy。
步骤 4/6
目标：化简分子表达式
将分子通分，以 \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\) 为分母：
\[
\frac{(\Delta x)^3 - (\Delta y)^3}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} - \Delta x + \Delta y = \frac{(\Delta x)^3 - (\Delta y)^3 - \Delta x[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2] + \Delta y[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\]
展开并合并：
- \((\Delta x)^3 - (\Delta x)^3 = 0\)
- \(-(\Delta y)^3 + (\Delta y)^3 = 0\)
- 剩余项：\(-\Delta x (\Delta y)^2 + \Delta y (\Delta x)^2 = \Delta x \Delta y (\Delta y - \Delta x)\)
所以分子化简为：
\[
\frac{\Delta x \Delta y (\Delta y - \Delta x)}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\]
于是极限变为：
\[
L = \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{ \Delta x \Delta y (\Delta y - \Delta x) }{ [(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]^{3/2} }
\]
公式：分子 = \frac{\Delta x \Delta y (\Delta y - \Delta x)}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
提示：化简时注意合并同类项，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：沿路径判断极限是否存在
取路径 \(\Delta y = k \Delta x\)，其中 \(k\) 为常数。则：
分子：\(\Delta x \cdot (k\Delta x) \cdot (k\Delta x - \Delta x) = k(k-1)(\Delta x)^3\)
分母：\([(\Delta x)^2 + k^2(\Delta x)^2]^{3/2} = |\Delta x|^3 (1+k^2)^{3/2}\)
因此沿此路径：
\[
L = \frac{k(k-1)}{(1+k^2)^{3/2}} \cdot \frac{(\Delta x)^3}{|\Delta x|^3}
\]
当 \(\Delta x > 0\) 时，\(\frac{(\Delta x)^3}{|\Delta x|^3}=1\)，所以 \(L = \frac{k(k-1)}{(1+k^2)^{3/2}}\)。
该值依赖于 \(k\)，例如取 \(k=2\) 得 \(\frac{2}{5\sqrt{5}} \neq 0\)，取 \(k=0\) 得 0，因此极限不唯一，即极限不存在。
公式：L = \frac{k(k-1)}{(1+k^2)^{3/2}}
提示：选择不同路径时极限值不同，说明极限不存在，从而不可微。注意 \(\Delta x\) 的正负会影响符号，但此处取正即可说明问题。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于极限 \(L\) 不存在（不为 0），根据可微的定义，函数 \(f(x,y)\) 在原点 \((0,0)\) 处不可微。
公式：\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x'(0,0)\Delta x-f_y'(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \neq 0
提示：可微的必要条件是偏导数存在，但偏导数存在不能推出可微，必须验证该极限是否为0。
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