南昌大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ 的和．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的收敛域
设通项为 $a_n = \frac{1}{4n+1}$，但 $x$ 的指数为 $4n+1$。使用比值审敛法：
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{x^{4(n+1)+1}/(4n+5)}{x^{4n+1}/(4n+1)} \right| = \lim_{n\to\infty} |x|^4 \cdot \frac{4n+1}{4n+5} = |x|^4.
$$
当 $|x|^4 < 1$ 即 $|x| < 1$ 时绝对收敛；当 $|x| > 1$ 时发散。在端点 $x = \pm 1$ 处，级数变为 $\sum \frac{(\pm 1)^{4n+1}}{4n+1} = \sum \frac{\pm 1}{4n+1}$，这是条件收敛的（类似交错调和级数）。因此收敛域为 $[-1, 1]$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x|^4$$
提示：注意 $x$ 的指数是 $4n+1$，比值法计算时要正确处理指数增量。端点处需单独判断条件收敛性。
步骤 2/5
目标：构造导数形式的几何级数
设和函数为 $S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$，在收敛域内逐项求导：
$$
S'(x) = \sum_{n=0}^\infty x^{4n} = \frac{1}{1 - x^4}, \quad |x| < 1.
$$
这里利用了等比级数求和公式 $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$，其中 $q = x^4$。
公式：$$S'(x) = \sum_{n=0}^\infty x^{4n} = \frac{1}{1-x^4}$$
提示：逐项求导时，注意原级数 $x^{4n+1}$ 求导后变为 $(4n+1)x^{4n}$，恰好与分母 $(4n+1)$ 约简，得到简洁的几何级数。
步骤 3/5
目标：将有理函数分解为部分分式
对 $\frac{1}{1-x^4}$ 进行部分分式分解。因式分解：$1-x^4 = (1-x)(1+x)(1+x^2)$。设：
$$
\frac{1}{1-x^4} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{Cx+D}{1+x^2}.
$$
通分后比较分子：
$$
1 = A(1+x)(1+x^2) + B(1-x)(1+x^2) + (Cx+D)(1-x^2).
$$
代入特殊值求解：
- $x=1$：$1 = A \cdot 2 \cdot 2 \Rightarrow A = \frac{1}{4}$。
- $x=-1$：$1 = B \cdot 2 \cdot 2 \Rightarrow B = \frac{1}{4}$。
- $x=0$：$1 = A + B + D \Rightarrow D = \frac{1}{2}$。
- $x=2$：$1 = \frac{1}{4} \cdot 15 + \frac{1}{4} \cdot (-5) + (2C+\frac{1}{2})(-3) \Rightarrow C = 0$。
因此：
$$
\frac{1}{1-x^4} = \frac{1/4}{1-x} + \frac{1/4}{1+x} + \frac{1/2}{1+x^2}.
$$
公式：$$\frac{1}{1-x^4} = \frac{1/4}{1-x} + \frac{1/4}{1+x} + \frac{1/2}{1+x^2}$$
提示：分解时注意二次因子 $1+x^2$ 的分子设为 $Cx+D$ 形式。代入特殊值求解是常用技巧，可避免解复杂方程组。
步骤 4/5
目标：积分求原函数
对 $S'(x)$ 积分得到 $S(x)$：
$$
S(x) = \int \frac{1}{1-x^4} \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{1-x} + \frac{1}{4} \int \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{1+x^2}.
$$
分别积分：
- $\int \frac{dx}{1-x} = -\ln|1-x|$。
- $\int \frac{dx}{1+x} = \ln|1+x|$。
- $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x$。
因此：
$$
S(x) = -\frac{1}{4} \ln|1-x| + \frac{1}{4} \ln|1+x| + \frac{1}{2} \arctan x + C.
$$
合并前两项：
$$
S(x) = \frac{1}{4} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + \frac{1}{2} \arctan x + C.
$$
公式：$$S(x) = \frac{1}{4} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + \frac{1}{2} \arctan x + C$$
提示：积分时注意 $\int \frac{dx}{1-x}$ 前面有负号，不要遗漏。绝对值符号在 $|x|<1$ 时可去掉，因为 $1+x$ 和 $1-x$ 均为正。
步骤 5/5
目标：利用初始条件确定常数
由原级数定义，当 $x=0$ 时，$S(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{0^{4n+1}}{4n+1} = 0$。代入上述表达式：
$$
0 = \frac{1}{4} \ln\left|\frac{1+0}{1-0}\right| + \frac{1}{2} \arctan 0 + C = \frac{1}{4} \ln 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + C = 0 + 0 + C.
$$
解得 $C = 0$。因此和函数为：
$$
S(x) = \frac{1}{4} \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2} \arctan x, \quad |x| < 1.
$$
在端点 $x = \pm 1$ 处，由连续性可知表达式仍然成立（取极限可得相同结果）。
公式：$$S(x) = \frac{1}{4} \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2} \arctan x, \quad x \in [-1, 1]$$
提示：常数 $C$ 必须通过 $S(0)=0$ 确定，不要忘记这一步。端点处的值可通过极限验证，例如 $x \to 1^-$ 时 $\ln\frac{1+x}{1-x} \to +\infty$，但级数本身发散，需注意收敛域为闭区间时表达式仅表示内点。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，在 $|x|<1$ 时，幂级数的和为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1} = \frac14 \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac12 \arctan x$。
公式：$\boxed{\frac14 \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac12 \arctan x}$
提示：端点 $x=\pm1$ 处级数发散（通项不趋于0），故收敛域为 $(-1,1)$。
步骤 7/7
目标：写出最终和函数并注明收敛域
因此，在收敛区间 $|x|<1$ 内，幂级数的和函数为：
$S(x) = \frac{1}{4} \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2} \arctan x$。
由于 $|x|<1$，绝对值符号可以去掉。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1} = \frac{1}{4} \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2} \arctan x, \quad |x|<1$
提示：收敛域为 $|x|<1$，端点 $x=\pm 1$ 处级数发散（因为分母线性，通项不趋于0）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。