南昌大学 2024年数学分析第11题
📝 题目
11、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知：
1. $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
2. $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续（逐点连续）。
3. $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0$，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-g(x)|<\varepsilon$。
目标：证明 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。
提示：注意区分一致连续与逐点连续的定义，以及极限条件的含义。
步骤 2/6
目标：利用极限条件选取大数M
取任意 $\varepsilon>0$。由 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0$，存在 $M>a$，使得对所有 $x\geq M$，有 $|f(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall x\geq M,\; |f(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：M的选取要大于a，以便后续区间划分。
步骤 3/6
目标：处理有限闭区间 [a, M+1] 上的一致连续性
由于 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，故在闭区间 $[a, M+1]$ 上连续。闭区间上的连续函数必一致连续，因此存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall x_1,x_2\in[a,M+1],\; |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：闭区间上连续函数一致连续是经典结论，注意区间端点包含M+1。
步骤 4/6
目标：利用f的一致连续性处理无穷区间 [M, +∞)
因为 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，所以存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
现在考虑 $x_1,x_2\geq M$ 且 $|x_1-x_2|<\delta_2$，则利用三角不等式：
$$|g(x_1)-g(x_2)|\leq |g(x_1)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-g(x_2)|$$
由 $x_1,x_2\geq M$，前、后两项均 $<\frac{\varepsilon}{3}$，中间项 $<\frac{\varepsilon}{3}$，故 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。
公式：$|g(x_1)-g(x_2)|\leq |g(x_1)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-g(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意三角不等式的使用，以及每一项的放缩条件。
步骤 5/6
目标：统一δ并处理跨区间的情况
取 $\delta = \min(\delta_1,\delta_2,1)$。对于任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况：
- 若 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，则由第一步的 $\delta_1$ 得 $|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$。
- 若 $x_1,x_2\geq M$，则由第二步的 $\delta_2$ 得 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。
- 若一个点小于 $M$，另一个点大于等于 $M$，由于 $|x_1-x_2|<\delta\leq 1$，则两点必同时落在 $[M-1,M+1]\subset[a,M+1]$ 内（因为 $M>a$），故由第一步的 $\delta_1$ 也得 $|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$。
因此，对所有 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。
公式：$\delta = \min(\delta_1,\delta_2,1)$
提示：跨区间情形容易遗漏，需确保两点距离小于1时必然落入有限区间内。
步骤 6/6
目标：得出结论
由以上证明，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。故 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：结论需明确写出一致连续的定义。
步骤 7/8
目标：分情况讨论：一点在 $[a, M]$，另一点在 $(M, +\infty)$
3. 若一个在 $[a, M]$，另一个在 $(M, +\infty)$，不妨设 $x_1 \in [a, M]$，$x_2 \in (M, +\infty)$。由于 $|x_1 - x_2| < \delta \leq 1$，则 $x_2 < x_1 + 1 \leq M+1$，故 $x_2 \in (M, M+1]$。因此 $x_1, x_2 \in [a, M+1]$，由情况1得 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$。
提示：这里利用了 $\delta \leq 1$ 来保证 $x_2$ 不超过 $M+1$，从而落入闭区间。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$。故 $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。
提示：证明完成，注意逻辑的完整性。
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