南昌大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1、计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[n]{2024} \cdot\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \cdot n^{3}}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析每个因子的极限行为
首先考虑因子 $\sqrt[n]{2024}=2024^{1/n}$。当 $n\to+\infty$ 时，$1/n\to 0$，因此 $\lim_{n\to\infty}2024^{1/n}=1$。该因子在极限中不起作用，可最后代入1。
公式：$\lim_{n\to\infty}2024^{1/n}=1$
提示：注意指数函数 $a^{1/n}$ 当 $a>0$ 时极限为1，与底数无关。
步骤 2/5
目标：处理分子中的 $1-\cos(1/n^2)$
利用等价无穷小：当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$。这里 $x=1/n^2\to 0$，所以 $1-\cos(1/n^2) \sim \frac{1}{2n^4}$。
公式：$1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{2n^4}$
提示：确保 $x$ 确实趋于0，且替换时注意系数。
步骤 3/5
目标：化简分母 $\sqrt{1+n^2}-n$
有理化：$\sqrt{1+n^2}-n = \frac{(1+n^2)-n^2}{\sqrt{1+n^2}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+n^2}+n}$。当 $n\to+\infty$ 时，$\sqrt{1+n^2}\sim n$，因此分母 $\sim \frac{1}{2n}$。
公式：$\sqrt{1+n^2}-n \sim \frac{1}{2n}$
提示：有理化是处理根式差的标准方法，注意符号。
步骤 4/5
目标：代入等价无穷小化简原式
原式近似为：$\frac{1 \cdot \frac{1}{2n^4} \cdot n^3}{\frac{1}{2n}} = \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}} = 1$。
公式：$\frac{\sqrt[n]{2024}\cdot(1-\cos(1/n^2))\cdot n^3}{\sqrt{1+n^2}-n} \sim \frac{1\cdot \frac{1}{2n^4}\cdot n^3}{\frac{1}{2n}} = 1$
提示：注意 $n^3$ 与 $n^4$ 约分后得到 $1/(2n)$，与分母的 $1/(2n)$ 相消。
步骤 5/5
目标：确认极限值
由于所有替换均为等价无穷小，且各因子极限存在非零（除趋于0的项已替换），故原极限等于1。
公式：$\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt[n]{2024} \cdot (1-\cos(1/n^2)) \cdot n^3}{\sqrt{1+n^2}-n} = 1$
提示：等价无穷小替换需确保因子相乘或相除，不能用于加减法。
步骤 6/6
目标：严格化极限计算
更严格地，利用极限运算法则：
\[
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2024} = 1, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{1-\cos(1/n^2)}{1/(2n^4)} = 1, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+n^2}+n}{2n} = 1.
\]
因此原极限等于 $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$。
公式：极限的乘积法则
提示：确保每个因子极限存在且有限，才能使用乘积法则。
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