南昌大学 2024年数学分析第9题

观察到被积函数形式为 $\frac{e^{-x^2}-e^{-2x^2}}{x}$，指数部分为 $x^2$，不能直接套用标准 Frullani 积分公式。令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$，积分限 $x:0\to\infty$ 对应 $t:0\to\infty$。

代入变量替换：$\frac{e^{-x^2}-e^{-2x^2}}{x} dx = \frac{e^{-t}-e^{-2t}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \frac{e^{-t}-e^{-2t}}{2t} dt$。因此原积分化为：$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t} dt$。

Frullani 积分公式：$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = (f(0)-f(\infty)) \ln\frac{b}{a}$。这里 $f(t)=e^{-t}$，$a=1$，$b=2$，$f(0)=1$，$f(\infty)=0$。代入得：$\int_0^\infty \frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t} dt = (1-0)\ln\frac{2}{1} = \ln 2$。

将上一步结果乘以 $\frac12$：$I = \frac12 \cdot \ln 2 = \frac{1}{2}\ln 2$。

考虑 $a \to +\infty$ 时的极限。当 $a$ 很大时，$e^{-a x^{2}}$ 在 $x>0$ 时趋于0，因此 $I(a) \approx \int_{0}^{+\infty} \frac{-e^{-2x^{2}}}{x} dx$，但该积分发散？实际上，当 $a\to+\infty$ 时，$I(a) \to 0$，因为被积函数中 $e^{-a x^{2}}$ 快速衰减，而 $e^{-2x^{2}}$ 部分被减去，但需谨慎。更严格地，利用 $I(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-a x^{2}}}{x} dx - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x^{2}}}{x} dx$，第一个积分当 $a\to\infty$ 时趋于0，第二个为常数，所以 $I(\infty) = -\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x^{2}}}{x} dx$，但该积分发散？实际上，原积分在 $x=0$ 处被积函数行为 $\frac{1-1}{x}=0$，所以可积。但 $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x^{2}}}{x} dx$ 发散（在0附近 $\frac{1}{x}$ 不可积），所以不能这样拆分。正确做法：考虑 $I(a)$ 在 $a=2$ 时，$I(2)=0$，因为分子为0。所以 $I(2)=0$。代入 $I(a) = -\frac{1}{2}\ln a + C$，得 $0 = -\frac{1}{2}\ln 2 + C$，所以 $C = \frac{1}{2}\ln 2$。

因此 $I(a) = -\frac{1}{2}\ln a + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}\ln \frac{2}{a}$。原积分为 $I(1) = \frac{1}{2}\ln 2$。