南昌大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8、设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：
$$
x_{n}=\sin \left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots \text { 且 } 0<x_{0}<\frac{\pi}{2} .
$$
证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫且极限为 0 ．
（2）试着求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列单调递减且有下界
已知 $0 < x_0 < \\frac{\\pi}{2}$，对于任意 $t \\in (0, \\frac{\\pi}{2})$，有 $0 < \\sin t < t$。由递推公式 $x_n = \\sin(x_{n-1})$，可得 $x_1 = \\sin x_0 < x_0$ 且 $x_1 > 0$。假设 $0 < x_{n-1} < \\frac{\\pi}{2}$，则 $0 < x_n = \\sin x_{n-1} < x_{n-1}$。由数学归纳法知，对所有 $n$，有 $0 < x_n < x_{n-1} < \\dots < x_0 < \\frac{\\pi}{2}$，故数列严格递减且有下界 $0$。
公式：0 < \\sin t < t, \\quad t \\in (0, \\frac{\\pi}{2})
提示：注意初始范围 $0 < x_0 < \\frac{\\pi}{2}$ 保证了递推过程中所有项均在此区间内，从而可以使用 $\sin t < t$ 的不等式。
步骤 2/5
目标：证明数列收敛且极限为0
由第一步知数列单调递减且有下界，故必收敛。设极限为 $L$，则 $L = \\lim_{n \\to \\infty} x_n = \\lim_{n \\to \\infty} \\sin(x_{n-1}) = \\sin L$。在区间 $[0, \\frac{\\pi}{2})$ 上，方程 $L = \\sin L$ 的唯一解是 $L = 0$，因此 $\\lim_{n \\to \\infty} x_n = 0$。
公式：L = \\sin L \\Rightarrow L = 0
提示：极限方程 $L = \\sin L$ 的解需结合单调性和区间范围判断，注意 $L=0$ 是唯一解。
步骤 3/5
目标：利用泰勒展开推导 $x_n$ 的近似递推关系
当 $x$ 很小时，有 $\\sin x = x - \\frac{x^3}{6} + o(x^3)$。代入递推式得 $x_n = x_{n-1} - \\frac{x_{n-1}^3}{6} + o(x_{n-1}^3)$。这提示我们考虑 $\\frac{1}{x_n^2}$ 的递推关系以消除线性项。
公式：\\sin x = x - \\frac{x^3}{6} + o(x^3)
提示：泰勒展开是处理小量递推的常用技巧，注意保留到 $x^3$ 项以得到正确的渐近行为。
步骤 4/5
目标：推导 $\\frac{1}{x_n^2}$ 的递推公式
由 $\\sin^2 x = x^2 - \\frac{x^4}{3} + O(x^6)$，则 $\\frac{1}{\\sin^2 x} = \\frac{1}{x^2} \\cdot \\frac{1}{1 - \\frac{x^2}{3} + O(x^4)} = \\frac{1}{x^2} \\left(1 + \\frac{x^2}{3} + O(x^4)\\right)$。因此 $\\frac{1}{x_n^2} = \\frac{1}{x_{n-1}^2} + \\frac{1}{3} + O(x_{n-1}^2)$。记 $a_n = \\frac{1}{x_n^2}$，则 $a_n = a_{n-1} + \\frac{1}{3} + \\varepsilon_{n-1}$，其中 $\\varepsilon_{n-1} = O(x_{n-1}^2) \\to 0$。
公式：\\frac{1}{\\sin^2 x} = \\frac{1}{x^2} + \\frac{1}{3} + O(x^2)
提示：展开时注意 $\\frac{1}{1-u} = 1+u+O(u^2)$，其中 $u = \\frac{x^2}{3} + O(x^4)$，确保精度一致。
步骤 5/5
目标：累加求和并利用Stolz定理求极限
对递推式累加得 $a_n = a_0 + \\frac{n}{3} + \\sum_{k=0}^{n-1} \\varepsilon_k$。由于 $\\varepsilon_k \\to 0$，由Stolz定理或算术平均性质知 $\\frac{1}{n} \\sum_{k=0}^{n-1} \\varepsilon_k \\to 0$。于是 $\\frac{a_n}{n} \\to \\frac{1}{3}$，即 $\\frac{1}{n x_n^2} \\to \\frac{1}{3}$。两边取倒数再开方得 $\\sqrt{\\frac{n}{3}} \\, x_n \\to 1$。
公式：\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n x_n^2} = \\frac{1}{3} \\quad \\Rightarrow \\quad \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt{\\frac{n}{3}} \\, x_n = 1
提示：Stolz定理适用于 $\\frac{\\infty}{\\infty}$ 型极限，这里 $a_n \\to \\infty$，可直接用 $\\lim \\frac{a_n}{n} = \\lim (a_n - a_{n-1})$ 验证。
步骤 6/6
目标：得出所求极限值
由 $x_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$ 得 $\sqrt{\frac{n}{3}} \, x_n \to 1$，即 $\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \, x_n = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \, x_n = 1$
提示：注意极限表达式中的系数 $\sqrt{n/3}$ 与 $x_n$ 的渐近形式匹配，避免计算错误。
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