合肥工业大学 2025年数学分析第10题

设 $z = f(x-y, x+y) + g(x+ky)$。令 $u = x-y$，$v = x+y$，则 $f$ 是 $u,v$ 的二元函数；令 $w = x+ky$，则 $g$ 是 $w$ 的一元函数。$f$ 具有连续二阶偏导数，$g$ 具有连续二阶导数且 $g''(x)$ 不恒为 0。

对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + g'(w) \cdot 1 = f_u + f_v + g'$。 对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial y} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + g'(w) \cdot k = -f_u + f_v + k g'$。

对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 再对 $x$ 求导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = (f_{uu}+f_{uv})+(f_{vu}+f_{vv})+g'' = f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}+g''$。 对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 再对 $y$ 求导：$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (f_{uu}-f_{uv})+(-f_{vu}+f_{vv})+k^2 g'' = f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}+k^2 g''$。

对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 再对 $y$ 求导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (-f_{uu}+f_{uv})+(-f_{vu}+f_{vv})+k g'' = -f_{uu}+f_{vv}+k g''$。

给定方程：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=4f_{22}''$，其中 $f_{22}''=f_{vv}$。 代入各二阶偏导： $(f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}+g'')+2(-f_{uu}+f_{vv}+kg'')+(f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}+k^2 g'')$ $= (f_{uu}-2f_{uu}+f_{uu})+(2f_{uv}-2f_{uv})+(f_{vv}+2f_{vv}+f_{vv})+(g''+2kg''+k^2 g'')$ $= 4f_{vv}+(1+2k+k^2)g''$。

由上式得 $(1+2k+k^2)g''=0$。因为 $g''(x)$ 不恒为 0，故 $1+2k+k^2=0$，即 $(k+1)^2=0$，解得 $k=-1$。

方程右边为 $4 f_{vv}$，因此有： $4 f_{vv} + (k+1)^2 g'' = 4 f_{vv}$， 化简得 $(k+1)^2 g'' = 0$。 由于 $g''(x)$ 不恒为 0，所以 $(k+1)^2 = 0$，解得 $k = -1$。