📝 合肥工业大学 2025年数学分析真题

1、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} n}{n}\right)$ ．

2、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

3、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt{n})=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上一致连续．

4、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在两个不同的点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{2024}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2025$ ．

5、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明：

$$
\int_{0}^{2} f(x) d x>1
$$

6、（10 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ 的绝对收敛性和条件收敛性．

7、（15 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积函数列，且函数列在 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x$.

8、（15分）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被截面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离．

9、（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} y z d y d z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y d z d x+x y d x d y$ ，其实 $S$ 为曲面 $\displaystyle y=4-\left(x^{2}+z^{2}\right)(y>0)$ ，在 $\displaystyle x o z$ 平面右侧部分为外侧．

10、（15分）设 $\displaystyle z=f(x-y, x+y)+g(x+k y), f(x, y)$ 具有连续二阶偏导数，$\displaystyle g(x)$具有连续二阶导数且 $\displaystyle g^{\prime \prime}(x)$ 不恒为 0 ，如果 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}=4 f_{22}^{\prime}$ ，求常数 $k$ 的值。

11、（15分）找出 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cos x}{x^{\alpha}} d x$ 的定义域，以及区间上的连续性．