合肥工业大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt{n})=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确题目条件和待证结论
已知 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{n \to \infty} f(\sqrt{n}) = 0$。需要证明：$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在当且仅当 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续。我们将分别证明两个方向。
公式：\lim_{n \to \infty} f(\sqrt{n}) = 0
提示：注意极限条件只针对自然数 $n$ 对应的点 $\sqrt{n}$，而非所有实数 $x$。
步骤 2/8
目标：证明“$\Rightarrow$”方向：若极限存在，则一致连续
假设 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ 存在（有限）。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 2$，使得当 $x, y \ge X$ 时，$|f(x)-L| < \frac{\varepsilon}{2}$ 且 $|f(y)-L| < \frac{\varepsilon}{2}$，从而 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。这说明 $f$ 在 $[X, +\infty)$ 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists X>2, \forall x,y\ge X: |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：无穷远处有极限时，函数值变化可以任意小，这是一致连续性的关键。
步骤 3/8
目标：处理有限区间上的一致连续性
在有限闭区间 $[2, X+1]$ 上，$f$ 连续，因此一致连续。存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x, y \in [2, X+1]$ 且 $|x-y| < \delta_1$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
公式：\exists \delta_1>0, \forall x,y\in[2,X+1], |x-y|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：闭区间上连续函数必一致连续，这是经典结论。
步骤 4/8
目标：合并两个区间得到整体一致连续
取 $\delta = \min(\delta_1, 1)$。对任意 $x, y \ge 2$ 且 $|x-y| < \delta$：若两者都在 $[2, X+1]$ 或都在 $[X, +\infty)$ 中，由前两步可知 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$；若一个小于 $X$ 一个大于 $X$，由于 $|x-y|<1$，两者必同时属于 $[2, X+1]$，同样满足。因此 $f$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续。
公式：\delta = \min(\delta_1, 1)
提示：注意 $\delta$ 的选取要保证跨区间的情况也被覆盖。
步骤 5/8
目标：证明“$\Leftarrow$”方向：若一致连续，则极限存在
假设 $f$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续，且 $\lim_{n\to\infty} f(\sqrt{n}) = 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，由一致连续性，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\ge2, |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：一致连续性提供了函数值变化的全局控制。
步骤 6/8
目标：利用子列极限和相邻点间距趋于零
由 $\lim_{n\to\infty} f(\sqrt{n}) = 0$，存在 $N$，当 $n \ge N$ 时 $|f(\sqrt{n})| < \varepsilon$。又因为 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$，存在 $N_1$，当 $n \ge N_1$ 时相邻 $\sqrt{n}$ 间距小于 $\delta$。取 $M = \max(N, N_1)$。
公式：\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
提示：注意 $\sqrt{n}$ 的间距随 $n$ 增大而减小，这是关键观察。
步骤 7/8
目标：证明极限为零
对任意 $x \ge \sqrt{M}$，存在整数 $k \ge M$ 使得 $|x - \sqrt{k}| < \delta$（因为相邻 $\sqrt{n}$ 间距小于 $\delta$，且 $x$ 必落在某两个相邻点之间或附近）。于是 $|f(x)| \le |f(x)-f(\sqrt{k})| + |f(\sqrt{k})| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$。因此 $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$，极限存在。
公式：|f(x)| < 2\varepsilon \quad \text{当 } x \text{ 充分大时}
提示：这里极限值为0，但即使极限非零，类似推理也可证明存在性，不过本题条件恰好推出极限为0。
步骤 8/8
目标：总结双向证明
我们已经证明了：若 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在，则 $f$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续；反之，若 $f$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续且 $\lim_{n\to\infty} f(\sqrt{n}) = 0$，则 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在（且为0）。因此等价关系成立。
公式：\lim_{x\to+\infty} f(x) \text{ 存在} \iff f \text{ 在 } [2,+\infty) \text{ 上一致连续}
提示：注意题目中 $\lim_{n\to\infty} f(\sqrt{n}) = 0$ 是已知条件，在反向证明中必须用到。
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