合肥工业大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并取对数
观察到当 $x \to +\infty$ 时，$e^{-x} \to 0$，而 $(1+\frac{1}{x})^{x^2}$ 是 $1^\infty$ 型不定式。为处理该极限，设 $L = \lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$，取自然对数得：
$$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]$$
公式：\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
提示：取对数是处理幂指函数极限的常用技巧，注意对数运算性质：$\ln(a^b)=b\ln a$。
步骤 2/4
目标：展开对数项
令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$。利用 $\ln(1+t)$ 的泰勒展开：
$$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$$
代入 $t = \frac{1}{x}$ 得：
$$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$$
公式：\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
提示：展开到 $\frac{1}{x^2}$ 项即可，因为后续乘以 $x^2$ 后 $\frac{1}{x^3}$ 项会趋于0。
步骤 3/4
目标：代入并化简表达式
将展开式代入 $x^2 \ln(1+\frac{1}{x})$：
$$x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right) \right) = x - \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right)$$
于是：
$$-x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -x + \left( x - \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right) \right) = -\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right)$$
公式：-x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right)
提示：注意 $O(\frac{1}{x})$ 表示当 $x \to +\infty$ 时趋于0的项，不要遗漏。
步骤 4/4
目标：取极限得到结果
当 $x \to +\infty$ 时，$O(\frac{1}{x}) \to 0$，因此：
$$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right) \right) = -\frac{1}{2}$$
两边取指数得：
$$L = e^{-\frac{1}{2}}$$
公式：L = e^{-\frac{1}{2}}
提示：取指数时注意 $\ln L = -\frac{1}{2}$ 等价于 $L = e^{-1/2}$。
步骤 5/5
目标：还原原极限值
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$ 得 $L = e^{-1/2}$，即原极限为 $e^{-\frac{1}{2}}$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{-\frac{1}{2}}$
提示：最后一步取指数还原，注意指数运算的准确性。
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