合肥工业大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} n}{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将求和表达式整理为公因子形式
原极限为 \(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right)\)，提取公因子 \(\frac{1}{n}\) 得：
\[\frac{1}{n}\left[1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n\right]\]
公式：\frac{1}{n}\left[1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n\right]
提示：注意每一项的分母都是 n，可以整体提取 1/n。
步骤 2/6
目标：定义交错和并分奇偶讨论
记 \(S_n = 1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n\)，需要分 n 为偶数和奇数两种情况分别求和。
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k
提示：交错和通常需要按奇偶项数分别处理。
步骤 3/6
目标：当 n 为偶数时求 S_n
设 \(n=2k\)，则 \(S_{2k} = (1-2)+(3-4)+\cdots+((2k-1)-2k)\)，每对括号内值为 -1，共 k 对，所以 \(S_{2k} = -k = -\frac{n}{2}\)。
公式：S_{2k} = -k = -\frac{n}{2}
提示：偶数项时，每两项配对结果为 -1，注意配对后项数减半。
步骤 4/6
目标：当 n 为奇数时求 S_n
设 \(n=2k+1\)，则 \(S_{2k+1} = (1-2)+(3-4)+\cdots+((2k-1)-2k)+(2k+1)\)，前 2k 项和为 -k，加上最后一项 2k+1 得 \(S_{2k+1} = -k + (2k+1) = k+1 = \frac{n+1}{2}\)。
公式：S_{2k+1} = k+1 = \frac{n+1}{2}
提示：奇数项时，最后一项单独处理，不要忘记加上。
步骤 5/6
目标：将 S_n 代入极限表达式
原极限为 \(\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}\)。当 n 为偶数时，\(\frac{S_n}{n} = \frac{-n/2}{n} = -\frac{1}{2}\)；当 n 为奇数时，\(\frac{S_n}{n} = \frac{(n+1)/2}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\)。
公式：\frac{S_n}{n} = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & n \text{为偶数} \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}, & n \text{为奇数} \end{cases}
提示：注意 n 为奇数时表达式包含 1/(2n)，当 n→∞ 时趋于 1/2。
步骤 6/6
目标：判断极限是否存在
当 n→∞ 时，偶数子列趋于 -1/2，奇数子列趋于 1/2，两个子列极限不同，因此原极限不存在。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n} \text{ 不存在}
提示：极限存在的必要条件是任意子列极限相等，这里奇偶子列极限不同，故极限不存在。
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