合肥工业大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在两个不同的点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{2024}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2025$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用拉格朗日中值定理得到导数为1的点
由拉格朗日中值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1$。
公式：$f'(c) = 1$
提示：注意拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间连续、开区间可导，本题满足。
步骤 2/4
目标：分析等式与导数为1的关系
若存在两个不同的点 $x_1, x_2$ 使得 $f'(x_1)=f'(x_2)=1$，则 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{2024}{f'(x_2)} = 1+2024 = 2025$，结论成立。因此问题转化为证明至少有两个不同的点导数为1。
公式：$\frac{1}{1}+\frac{2024}{1}=2025$
提示：不要忽略可能存在的其他组合，但此思路最直接。
步骤 3/4
目标：假设导数为1的点唯一，并利用达布定理导出矛盾
假设除 $c$ 外没有其他点导数为1。由达布定理（导函数具有介值性），$f'(x)$ 在 $c$ 两侧要么都大于1，要么都小于1，否则会经过1产生另一个等于1的点。
- 若对所有 $x \neq c$ 有 $f'(x) > 1$，则 $\frac{1}{f'(x)} < 1$，$\frac{2024}{f'(x)} < 2024$，对任意两点 $x_1,x_2$ 有 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{2024}{f'(x_2)} < 2025$，无法等于2025。
- 若对所有 $x \neq c$ 有 $f'(x) < 1$，则 $\frac{1}{f'(x)} > 1$，$\frac{2024}{f'(x)} > 2024$，和大于2025，也无法等于2025。
因此假设不成立。
公式：达布定理：若 $f$ 可导，则 $f'$ 具有介值性
提示：达布定理是本题关键，注意导函数不一定连续但仍有介值性。
步骤 4/4
目标：得出结论
由反证法知，至少存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in (0,1)$ 使得 $f'(x_1)=f'(x_2)=1$，代入即得 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{2024}{f'(x_2)} = 2025$。
公式：$\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{2024}{f'(x_2)} = 2025$
提示：注意两个点必须不同，已由证明保证。
步骤 5/5
目标：验证等式成立并总结
取 $a$ 满足 $f(a) = \frac{1}{2025}$，则 $f'(x_1) = \frac{1}{2025a}$，$f'(x_2) = \frac{2024/2025}{1-a}$。计算得 $\frac{1}{f'(x_1)} = 2025a$，$\frac{2024}{f'(x_2)} = 2025(1-a)$，相加得 $2025a + 2025(1-a) = 2025$。因此存在两个不同的点 $x_1 \in (0,a)$ 和 $x_2 \in (a,1)$ 满足等式。
公式：\frac{1}{f'(x_1)} + \frac{2024}{f'(x_2)} = 2025a + 2025(1-a) = 2025
提示：最终结果与 $a$ 的具体取值无关，只要 $f(a)=1/2025$ 即可。
步骤 6/6
目标：验证结论
由上述构造，有 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{2024}{f'(x_2)}=\lambda+2024\mu=2025$，且 $x_1 \neq x_2$。因此，在 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $x_1, x_2$ 满足等式。
提示：验证 $\lambda+2024\mu=2025$ 是否成立。
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