合肥工业大学 2025年数学分析第5题

已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续可导，即 $f'(x)$ 存在且连续，因此可积。端点值满足 $f(0)=f(2)=1$，且导数绝对值有上界 $|f'(x)| \leq 1$。需要证明积分 $\int_0^2 f(x) \, dx > 1$。注意，若 $f(x) \equiv 1$，则积分值为 $2 > 1$，但题目要求证明一般情形下积分严格大于 1。

对任意 $x \in [0,1]$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $f(x)-f(0)=f'(\xi)x$，即 $f(x)=1+f'(\xi)x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，得 $f(x) \geq 1 - x$。对任意 $x \in [1,2]$，考虑从右端点出发：存在 $\eta \in (x,2)$ 使得 $f(2)-f(x)=f'(\eta)(2-x)$，即 $1-f(x)=f'(\eta)(2-x)$，故 $f(x)=1-f'(\eta)(2-x) \geq 1 - (2-x) = x-1$。因此得到分段下界：$f(x) \geq \begin{cases} 1-x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x-1, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$。

对下界函数进行分段积分：$\int_0^1 (1-x) \, dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$；$\int_1^2 (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{2}$。因此下界函数的积分总和为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。由 $f(x)$ 不小于下界函数，得 $\int_0^2 f(x) \, dx \geq 1$。

假设 $\int_0^2 f(x) \, dx = 1$，则 $f(x)$ 必须几乎处处等于下界函数。特别地，在 $[0,1]$ 上 $f(x)=1-x$，在 $[1,2]$ 上 $f(x)=x-1$。此时，在 $x=1$ 处，左导数为 $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -1$，右导数为 $\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1$，左右导数不相等，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导，与 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续可导（导数存在且连续）矛盾。因此假设不成立，必有 $\int_0^2 f(x) \, dx > 1$。

综合以上步骤，由下界估计得到积分不小于1，再通过反证法利用连续可导条件排除等号成立的可能性，从而严格证明 $\int_0^2 f(x) \, dx > 1$。

由于 $f(x) \geq g(x)$ 对所有 $x$ 成立，且 $f$ 连续可导，若 $f(x) \equiv g(x)$，则 $g(x)$ 在 $x=1$ 处不可导（左导数为 $-1$，右导数为 $1$），与 $f$ 连续可导矛盾。因此存在某个区间使得 $f(x) > g(x)$，由连续性知该区间内 $f(x)-g(x)$ 有正下界，从而积分严格大于 $\int_0^2 g(x) \, dx = 1$。

综上，由 $f(x) \geq g(x)$ 且 $f \not\equiv g$，可得 $\int_0^2 f(x) \, dx > 1$，原命题得证。